פתור את {l}{5x+y=7}{-3x+7y=11}

$$\left. \begin{array} { l } { 5 x + y = 7 } \\ { - 3 x + 7 y = 11 } \end{array} \right.$$

פתור עבור x, y

$$x=1$$

$$y=2$$

שלבים הכוללים שימוש בהחלפה

כדי לפתור זוג משוואות באמצעות החלפה, תחילה פתור אחת מהמשוואות עבור אחד מהמשתנים. לאחר מכן החלף את התוצאה עבור משתנה זה במשוואה השניה.

$$5x+y=7,-3x+7y=11$$

בחר אחת מהמשוואות ופתור אותה עבור x על-ידי בידוד x בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$5x+y=7$$

החסר ‎y משני אגפי המשוואה.

$$5x=-y+7$$

חלק את שני האגפים ב- ‎5.

$$x=\frac{1}{5}\left(-y+7\right)$$

הכפל את ‎\frac{1}{5} ב- ‎-y+7.

$$x=-\frac{1}{5}y+\frac{7}{5}$$

השתמש ב- ‎\frac{-y+7}{5} במקום ‎x במשוואה השניה, ‎-3x+7y=11.

$$-3\left(-\frac{1}{5}y+\frac{7}{5}\right)+7y=11$$

הכפל את ‎-3 ב- ‎\frac{-y+7}{5}.

$$\frac{3}{5}y-\frac{21}{5}+7y=11$$

הוסף את ‎\frac{3y}{5} ל- ‎7y.

$$\frac{38}{5}y-\frac{21}{5}=11$$

הוסף ‎\frac{21}{5} לשני אגפי המשוואה.

$$\frac{38}{5}y=\frac{76}{5}$$

חלק את שני אגפי המשוואה ב- ‎\frac{38}{5}, פעולה הזהה להכפלת שני האגפים בהופכי של השבר.

$$y=2$$

השתמש ב- ‎2 במקום y ב- ‎x=-\frac{1}{5}y+\frac{7}{5}. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.

$$x=-\frac{1}{5}\times 2+\frac{7}{5}$$

הכפל את ‎-\frac{1}{5} ב- ‎2.

$$x=\frac{-2+7}{5}$$

הוסף את ‎\frac{7}{5} ל- ‎-\frac{2}{5} על-ידי מציאת מכנה משותף וחיבור המונים. לאחר מכן צמצם את השבר לאיברים הקטנים ביותר אם הדבר אפשרי.

$$x=1$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=1,y=2$$

שלבים הכוללים שימוש במטריצות

העבר את המשוואות לצורה סטנדרטית ולאחר מכן השתמש במטריצות כדי לפתור את מערכת המשוואות.

$$5x+y=7,-3x+7y=11$$

כתוב את המשוואות בצורת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}5&1\\-3&7\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}7\\11\end{matrix}\right)$$

הכפל את המשוואה שבצד השמאלי במטריצה ההופכית של \left(\begin{matrix}5&1\\-3&7\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}5&1\\-3&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5&1\\-3&7\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&1\\-3&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\11\end{matrix}\right)$$

המכפלה של מטריצה וההופכי שלה היא מטריצת הזהות.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&1\\-3&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\11\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&1\\-3&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\11\end{matrix}\right)$$

עבור המטריצה 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), המטריצה ההפוכה היא \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), כדי שניתן יהיה לכתוב מחדש את משוואת המטריצה כבעיית הכפלת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{5\times 7-\left(-3\right)}&-\frac{1}{5\times 7-\left(-3\right)}\\-\frac{-3}{5\times 7-\left(-3\right)}&\frac{5}{5\times 7-\left(-3\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}7\\11\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{38}&-\frac{1}{38}\\\frac{3}{38}&\frac{5}{38}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}7\\11\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{38}\times 7-\frac{1}{38}\times 11\\\frac{3}{38}\times 7+\frac{5}{38}\times 11\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\2\end{matrix}\right)$$

חלץ את רכיבי המטריצה x ו- y.

$$x=1,y=2$$

שלבים הכוללים שימוש באלימינציה

כדי לפתור באמצעות אלימינציה, המקדמים של אחד מהמשתנים חייבים להיות זהים בשתי המשוואות כדי שהמשתנה יתבטל בעת החסרת משוואה אחת מהשניה.

$$5x+y=7,-3x+7y=11$$

כדי להפוך את ‎5x ו- ‎-3x לשווים, הכפל את כל האיברים בכל אגף של המשוואה הראשונה ב- ‎-3 ואת כל האיברים בכל אגף של המשוואה השניה ב- ‎5.

$$-3\times 5x-3y=-3\times 7,5\left(-3\right)x+5\times 7y=5\times 11$$

פשט.

$$-15x-3y=-21,-15x+35y=55$$

החסר את ‎-15x+35y=55 מ- ‎-15x-3y=-21 על-ידי חיסור איברים דומים בכל אחד מהצדדים של סימן השוויון.

$$-15x+15x-3y-35y=-21-55$$

הוסף את ‎-15x ל- ‎15x. האיברים ‎-15x ו- ‎15x מבטלים זה את זה, ונותרת משוואה שכוללת משתנה אחד בלבד ושניתן לפתור אותה.

$$-3y-35y=-21-55$$

הוסף את ‎-3y ל- ‎-35y.

$$-38y=-21-55$$

הוסף את ‎-21 ל- ‎-55.

$$-38y=-76$$

חלק את שני האגפים ב- ‎-38.

$$y=2$$

השתמש ב- ‎2 במקום y ב- ‎-3x+7y=11. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.

$$-3x+7\times 2=11$$

הכפל את ‎7 ב- ‎2.

$$-3x+14=11$$

החסר ‎14 משני אגפי המשוואה.

$$-3x=-3$$

חלק את שני האגפים ב- ‎-3.

$$x=1$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=1,y=2$$