פתור את {l}{5x+9y=27}{7x+8y=47}

$$\left. \begin{array} { l } { 5 x + 9 y = 27 } \\ { 7 x + 8 y = 47 } \end{array} \right.$$

פתור עבור x, y

$$x=9$$

$$y=-2$$

שלבים הכוללים שימוש בהחלפה

כדי לפתור זוג משוואות באמצעות החלפה, תחילה פתור אחת מהמשוואות עבור אחד מהמשתנים. לאחר מכן החלף את התוצאה עבור משתנה זה במשוואה השניה.

$$5x+9y=27,7x+8y=47$$

בחר אחת מהמשוואות ופתור אותה עבור x על-ידי בידוד x בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$5x+9y=27$$

החסר ‎9y משני אגפי המשוואה.

$$5x=-9y+27$$

חלק את שני האגפים ב- ‎5.

$$x=\frac{1}{5}\left(-9y+27\right)$$

הכפל את ‎\frac{1}{5} ב- ‎-9y+27.

$$x=-\frac{9}{5}y+\frac{27}{5}$$

השתמש ב- ‎\frac{-9y+27}{5} במקום ‎x במשוואה השניה, ‎7x+8y=47.

$$7\left(-\frac{9}{5}y+\frac{27}{5}\right)+8y=47$$

הכפל את ‎7 ב- ‎\frac{-9y+27}{5}.

$$-\frac{63}{5}y+\frac{189}{5}+8y=47$$

הוסף את ‎-\frac{63y}{5} ל- ‎8y.

$$-\frac{23}{5}y+\frac{189}{5}=47$$

החסר ‎\frac{189}{5} משני אגפי המשוואה.

$$-\frac{23}{5}y=\frac{46}{5}$$

חלק את שני אגפי המשוואה ב- ‎-\frac{23}{5}, פעולה הזהה להכפלת שני האגפים בהופכי של השבר.

$$y=-2$$

השתמש ב- ‎-2 במקום y ב- ‎x=-\frac{9}{5}y+\frac{27}{5}. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.

$$x=-\frac{9}{5}\left(-2\right)+\frac{27}{5}$$

הכפל את ‎-\frac{9}{5} ב- ‎-2.

$$x=\frac{18+27}{5}$$

הוסף את ‎\frac{27}{5} ל- ‎\frac{18}{5} על-ידי מציאת מכנה משותף וחיבור המונים. לאחר מכן צמצם את השבר לאיברים הקטנים ביותר אם הדבר אפשרי.

$$x=9$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=9,y=-2$$

שלבים הכוללים שימוש במטריצות

העבר את המשוואות לצורה סטנדרטית ולאחר מכן השתמש במטריצות כדי לפתור את מערכת המשוואות.

$$5x+9y=27,7x+8y=47$$

כתוב את המשוואות בצורת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}5&9\\7&8\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}27\\47\end{matrix}\right)$$

הכפל את המשוואה שבצד השמאלי במטריצה ההופכית של \left(\begin{matrix}5&9\\7&8\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}5&9\\7&8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5&9\\7&8\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&9\\7&8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}27\\47\end{matrix}\right)$$

המכפלה של מטריצה וההופכי שלה היא מטריצת הזהות.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&9\\7&8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}27\\47\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&9\\7&8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}27\\47\end{matrix}\right)$$

עבור המטריצה 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), המטריצה ההפוכה היא \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), כדי שניתן יהיה לכתוב מחדש את משוואת המטריצה כבעיית הכפלת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{8}{5\times 8-9\times 7}&-\frac{9}{5\times 8-9\times 7}\\-\frac{7}{5\times 8-9\times 7}&\frac{5}{5\times 8-9\times 7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}27\\47\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{8}{23}&\frac{9}{23}\\\frac{7}{23}&-\frac{5}{23}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}27\\47\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{8}{23}\times 27+\frac{9}{23}\times 47\\\frac{7}{23}\times 27-\frac{5}{23}\times 47\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}9\\-2\end{matrix}\right)$$

חלץ את רכיבי המטריצה x ו- y.

$$x=9,y=-2$$

שלבים הכוללים שימוש באלימינציה

כדי לפתור באמצעות אלימינציה, המקדמים של אחד מהמשתנים חייבים להיות זהים בשתי המשוואות כדי שהמשתנה יתבטל בעת החסרת משוואה אחת מהשניה.

$$5x+9y=27,7x+8y=47$$

כדי להפוך את ‎5x ו- ‎7x לשווים, הכפל את כל האיברים בכל אגף של המשוואה הראשונה ב- ‎7 ואת כל האיברים בכל אגף של המשוואה השניה ב- ‎5.

$$7\times 5x+7\times 9y=7\times 27,5\times 7x+5\times 8y=5\times 47$$

פשט.

$$35x+63y=189,35x+40y=235$$

החסר את ‎35x+40y=235 מ- ‎35x+63y=189 על-ידי חיסור איברים דומים בכל אחד מהצדדים של סימן השוויון.

$$35x-35x+63y-40y=189-235$$

הוסף את ‎35x ל- ‎-35x. האיברים ‎35x ו- ‎-35x מבטלים זה את זה, ונותרת משוואה שכוללת משתנה אחד בלבד ושניתן לפתור אותה.

$$63y-40y=189-235$$

הוסף את ‎63y ל- ‎-40y.

$$23y=189-235$$

הוסף את ‎189 ל- ‎-235.

$$23y=-46$$

חלק את שני האגפים ב- ‎23.

$$y=-2$$

השתמש ב- ‎-2 במקום y ב- ‎7x+8y=47. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.

$$7x+8\left(-2\right)=47$$

הכפל את ‎8 ב- ‎-2.

$$7x-16=47$$

הוסף ‎16 לשני אגפי המשוואה.

$$7x=63$$

חלק את שני האגפים ב- ‎7.

$$x=9$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=9,y=-2$$