פתור את {l}{5x+7y=71}{8x-3y=10}

$$\left. \begin{array} { l } { 5 x + 7 y = 71 } \\ { 8 x - 3 y = 10 } \end{array} \right.$$

פתור עבור x, y

$$x = \frac{283}{71} = 3\frac{70}{71} \approx 3.985915493$$

$$y = \frac{518}{71} = 7\frac{21}{71} \approx 7.295774648$$

שלבים הכוללים שימוש בהחלפה

כדי לפתור זוג משוואות באמצעות החלפה, תחילה פתור אחת מהמשוואות עבור אחד מהמשתנים. לאחר מכן החלף את התוצאה עבור משתנה זה במשוואה השניה.

$$5x+7y=71,8x-3y=10$$

בחר אחת מהמשוואות ופתור אותה עבור x על-ידי בידוד x בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$5x+7y=71$$

החסר ‎7y משני אגפי המשוואה.

$$5x=-7y+71$$

חלק את שני האגפים ב- ‎5.

$$x=\frac{1}{5}\left(-7y+71\right)$$

הכפל את ‎\frac{1}{5} ב- ‎-7y+71.

$$x=-\frac{7}{5}y+\frac{71}{5}$$

השתמש ב- ‎\frac{-7y+71}{5} במקום ‎x במשוואה השניה, ‎8x-3y=10.

$$8\left(-\frac{7}{5}y+\frac{71}{5}\right)-3y=10$$

הכפל את ‎8 ב- ‎\frac{-7y+71}{5}.

$$-\frac{56}{5}y+\frac{568}{5}-3y=10$$

הוסף את ‎-\frac{56y}{5} ל- ‎-3y.

$$-\frac{71}{5}y+\frac{568}{5}=10$$

החסר ‎\frac{568}{5} משני אגפי המשוואה.

$$-\frac{71}{5}y=-\frac{518}{5}$$

חלק את שני אגפי המשוואה ב- ‎-\frac{71}{5}, פעולה הזהה להכפלת שני האגפים בהופכי של השבר.

$$y=\frac{518}{71}$$

השתמש ב- ‎\frac{518}{71} במקום y ב- ‎x=-\frac{7}{5}y+\frac{71}{5}. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.

$$x=-\frac{7}{5}\times \frac{518}{71}+\frac{71}{5}$$

הכפל את ‎-\frac{7}{5} ב- ‎\frac{518}{71} על-ידי הכפלת המונה במונה והמכנה במכנה. לאחר מכן צמצם את השבר לאיברים הקטנים ביותר אם הדבר אפשרי.

$$x=-\frac{3626}{355}+\frac{71}{5}$$

הוסף את ‎\frac{71}{5} ל- ‎-\frac{3626}{355} על-ידי מציאת מכנה משותף וחיבור המונים. לאחר מכן צמצם את השבר לאיברים הקטנים ביותר אם הדבר אפשרי.

$$x=\frac{283}{71}$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=\frac{283}{71},y=\frac{518}{71}$$

שלבים הכוללים שימוש במטריצות

העבר את המשוואות לצורה סטנדרטית ולאחר מכן השתמש במטריצות כדי לפתור את מערכת המשוואות.

$$5x+7y=71,8x-3y=10$$

כתוב את המשוואות בצורת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}5&7\\8&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}71\\10\end{matrix}\right)$$

הכפל את המשוואה שבצד השמאלי במטריצה ההופכית של \left(\begin{matrix}5&7\\8&-3\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}5&7\\8&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5&7\\8&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&7\\8&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}71\\10\end{matrix}\right)$$

המכפלה של מטריצה וההופכי שלה היא מטריצת הזהות.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&7\\8&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}71\\10\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&7\\8&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}71\\10\end{matrix}\right)$$

עבור המטריצה 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), המטריצה ההפוכה היא \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), כדי שניתן יהיה לכתוב מחדש את משוואת המטריצה כבעיית הכפלת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{3}{5\left(-3\right)-7\times 8}&-\frac{7}{5\left(-3\right)-7\times 8}\\-\frac{8}{5\left(-3\right)-7\times 8}&\frac{5}{5\left(-3\right)-7\times 8}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}71\\10\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{71}&\frac{7}{71}\\\frac{8}{71}&-\frac{5}{71}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}71\\10\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{71}\times 71+\frac{7}{71}\times 10\\\frac{8}{71}\times 71-\frac{5}{71}\times 10\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{283}{71}\\\frac{518}{71}\end{matrix}\right)$$

חלץ את רכיבי המטריצה x ו- y.

$$x=\frac{283}{71},y=\frac{518}{71}$$

שלבים הכוללים שימוש באלימינציה

כדי לפתור באמצעות אלימינציה, המקדמים של אחד מהמשתנים חייבים להיות זהים בשתי המשוואות כדי שהמשתנה יתבטל בעת החסרת משוואה אחת מהשניה.

$$5x+7y=71,8x-3y=10$$

כדי להפוך את ‎5x ו- ‎8x לשווים, הכפל את כל האיברים בכל אגף של המשוואה הראשונה ב- ‎8 ואת כל האיברים בכל אגף של המשוואה השניה ב- ‎5.

$$8\times 5x+8\times 7y=8\times 71,5\times 8x+5\left(-3\right)y=5\times 10$$

פשט.

$$40x+56y=568,40x-15y=50$$

החסר את ‎40x-15y=50 מ- ‎40x+56y=568 על-ידי חיסור איברים דומים בכל אחד מהצדדים של סימן השוויון.

$$40x-40x+56y+15y=568-50$$

הוסף את ‎40x ל- ‎-40x. האיברים ‎40x ו- ‎-40x מבטלים זה את זה, ונותרת משוואה שכוללת משתנה אחד בלבד ושניתן לפתור אותה.

$$56y+15y=568-50$$

הוסף את ‎56y ל- ‎15y.

$$71y=568-50$$

הוסף את ‎568 ל- ‎-50.

$$71y=518$$

חלק את שני האגפים ב- ‎71.

$$y=\frac{518}{71}$$

השתמש ב- ‎\frac{518}{71} במקום y ב- ‎8x-3y=10. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.

$$8x-3\times \frac{518}{71}=10$$

הכפל את ‎-3 ב- ‎\frac{518}{71}.

$$8x-\frac{1554}{71}=10$$

הוסף ‎\frac{1554}{71} לשני אגפי המשוואה.

$$8x=\frac{2264}{71}$$

חלק את שני האגפים ב- ‎8.

$$x=\frac{283}{71}$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=\frac{283}{71},y=\frac{518}{71}$$