פתור את {l}{5x+7y=7}{3x+2y=11}

$$\left. \begin{array} { l } { 5 x + 7 y = 7 } \\ { 3 x + 2 y = 11 } \end{array} \right.$$

פתור עבור x, y

$$x = \frac{63}{11} = 5\frac{8}{11} \approx 5.727272727$$

$$y = -\frac{34}{11} = -3\frac{1}{11} \approx -3.090909091$$

שלבים הכוללים שימוש בהחלפה

כדי לפתור זוג משוואות באמצעות החלפה, תחילה פתור אחת מהמשוואות עבור אחד מהמשתנים. לאחר מכן החלף את התוצאה עבור משתנה זה במשוואה השניה.

$$5x+7y=7,3x+2y=11$$

בחר אחת מהמשוואות ופתור אותה עבור x על-ידי בידוד x בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$5x+7y=7$$

החסר ‎7y משני אגפי המשוואה.

$$5x=-7y+7$$

חלק את שני האגפים ב- ‎5.

$$x=\frac{1}{5}\left(-7y+7\right)$$

הכפל את ‎\frac{1}{5} ב- ‎-7y+7.

$$x=-\frac{7}{5}y+\frac{7}{5}$$

השתמש ב- ‎\frac{-7y+7}{5} במקום ‎x במשוואה השניה, ‎3x+2y=11.

$$3\left(-\frac{7}{5}y+\frac{7}{5}\right)+2y=11$$

הכפל את ‎3 ב- ‎\frac{-7y+7}{5}.

$$-\frac{21}{5}y+\frac{21}{5}+2y=11$$

הוסף את ‎-\frac{21y}{5} ל- ‎2y.

$$-\frac{11}{5}y+\frac{21}{5}=11$$

החסר ‎\frac{21}{5} משני אגפי המשוואה.

$$-\frac{11}{5}y=\frac{34}{5}$$

חלק את שני אגפי המשוואה ב- ‎-\frac{11}{5}, פעולה הזהה להכפלת שני האגפים בהופכי של השבר.

$$y=-\frac{34}{11}$$

השתמש ב- ‎-\frac{34}{11} במקום y ב- ‎x=-\frac{7}{5}y+\frac{7}{5}. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.

$$x=-\frac{7}{5}\left(-\frac{34}{11}\right)+\frac{7}{5}$$

הכפל את ‎-\frac{7}{5} ב- ‎-\frac{34}{11} על-ידי הכפלת המונה במונה והמכנה במכנה. לאחר מכן צמצם את השבר לאיברים הקטנים ביותר אם הדבר אפשרי.

$$x=\frac{238}{55}+\frac{7}{5}$$

הוסף את ‎\frac{7}{5} ל- ‎\frac{238}{55} על-ידי מציאת מכנה משותף וחיבור המונים. לאחר מכן צמצם את השבר לאיברים הקטנים ביותר אם הדבר אפשרי.

$$x=\frac{63}{11}$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=\frac{63}{11},y=-\frac{34}{11}$$

שלבים הכוללים שימוש במטריצות

העבר את המשוואות לצורה סטנדרטית ולאחר מכן השתמש במטריצות כדי לפתור את מערכת המשוואות.

$$5x+7y=7,3x+2y=11$$

כתוב את המשוואות בצורת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}5&7\\3&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}7\\11\end{matrix}\right)$$

הכפל את המשוואה שבצד השמאלי במטריצה ההופכית של \left(\begin{matrix}5&7\\3&2\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}5&7\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5&7\\3&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&7\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\11\end{matrix}\right)$$

המכפלה של מטריצה וההופכי שלה היא מטריצת הזהות.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&7\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\11\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&7\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\11\end{matrix}\right)$$

עבור המטריצה 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), המטריצה ההפוכה היא \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), כדי שניתן יהיה לכתוב מחדש את משוואת המטריצה כבעיית הכפלת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{5\times 2-7\times 3}&-\frac{7}{5\times 2-7\times 3}\\-\frac{3}{5\times 2-7\times 3}&\frac{5}{5\times 2-7\times 3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}7\\11\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{11}&\frac{7}{11}\\\frac{3}{11}&-\frac{5}{11}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}7\\11\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{11}\times 7+\frac{7}{11}\times 11\\\frac{3}{11}\times 7-\frac{5}{11}\times 11\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{63}{11}\\-\frac{34}{11}\end{matrix}\right)$$

חלץ את רכיבי המטריצה x ו- y.

$$x=\frac{63}{11},y=-\frac{34}{11}$$

שלבים הכוללים שימוש באלימינציה

כדי לפתור באמצעות אלימינציה, המקדמים של אחד מהמשתנים חייבים להיות זהים בשתי המשוואות כדי שהמשתנה יתבטל בעת החסרת משוואה אחת מהשניה.

$$5x+7y=7,3x+2y=11$$

כדי להפוך את ‎5x ו- ‎3x לשווים, הכפל את כל האיברים בכל אגף של המשוואה הראשונה ב- ‎3 ואת כל האיברים בכל אגף של המשוואה השניה ב- ‎5.

$$3\times 5x+3\times 7y=3\times 7,5\times 3x+5\times 2y=5\times 11$$

פשט.

$$15x+21y=21,15x+10y=55$$

החסר את ‎15x+10y=55 מ- ‎15x+21y=21 על-ידי חיסור איברים דומים בכל אחד מהצדדים של סימן השוויון.

$$15x-15x+21y-10y=21-55$$

הוסף את ‎15x ל- ‎-15x. האיברים ‎15x ו- ‎-15x מבטלים זה את זה, ונותרת משוואה שכוללת משתנה אחד בלבד ושניתן לפתור אותה.

$$21y-10y=21-55$$

הוסף את ‎21y ל- ‎-10y.

$$11y=21-55$$

הוסף את ‎21 ל- ‎-55.

$$11y=-34$$

חלק את שני האגפים ב- ‎11.

$$y=-\frac{34}{11}$$

השתמש ב- ‎-\frac{34}{11} במקום y ב- ‎3x+2y=11. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.

$$3x+2\left(-\frac{34}{11}\right)=11$$

הכפל את ‎2 ב- ‎-\frac{34}{11}.

$$3x-\frac{68}{11}=11$$

הוסף ‎\frac{68}{11} לשני אגפי המשוואה.

$$3x=\frac{189}{11}$$

חלק את שני האגפים ב- ‎3.

$$x=\frac{63}{11}$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=\frac{63}{11},y=-\frac{34}{11}$$