פתור עבור x, y
x=51
y=65
גרף
שתף
הועתק ללוח
5x+3y=450,3x+4y=413
כדי לפתור זוג משוואות באמצעות החלפה, תחילה פתור אחת מהמשוואות עבור אחד מהמשתנים. לאחר מכן החלף את התוצאה עבור משתנה זה במשוואה השניה.
5x+3y=450
בחר אחת מהמשוואות ופתור אותה עבור x על-ידי בידוד x בצד השמאלי של סימן השוויון.
5x=-3y+450
החסר 3y משני אגפי המשוואה.
x=\frac{1}{5}\left(-3y+450\right)
חלק את שני האגפים ב- 5.
x=-\frac{3}{5}y+90
הכפל את \frac{1}{5} ב- -3y+450.
3\left(-\frac{3}{5}y+90\right)+4y=413
השתמש ב- -\frac{3y}{5}+90 במקום x במשוואה השניה, 3x+4y=413.
-\frac{9}{5}y+270+4y=413
הכפל את 3 ב- -\frac{3y}{5}+90.
\frac{11}{5}y+270=413
הוסף את -\frac{9y}{5} ל- 4y.
\frac{11}{5}y=143
החסר 270 משני אגפי המשוואה.
y=65
חלק את שני אגפי המשוואה ב- \frac{11}{5}, פעולה הזהה להכפלת שני האגפים בהופכי של השבר.
x=-\frac{3}{5}\times 65+90
השתמש ב- 65 במקום y ב- x=-\frac{3}{5}y+90. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.
x=-39+90
הכפל את -\frac{3}{5} ב- 65.
x=51
הוסף את 90 ל- -39.
x=51,y=65
המערכת נפתרה כעת.
5x+3y=450,3x+4y=413
העבר את המשוואות לצורה סטנדרטית ולאחר מכן השתמש במטריצות כדי לפתור את מערכת המשוואות.
\left(\begin{matrix}5&3\\3&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}450\\413\end{matrix}\right)
כתוב את המשוואות בצורת מטריצה.
inverse(\left(\begin{matrix}5&3\\3&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5&3\\3&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&3\\3&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}450\\413\end{matrix}\right)
הכפל את המשוואה שבצד השמאלי במטריצה ההופכית של \left(\begin{matrix}5&3\\3&4\end{matrix}\right).
\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&3\\3&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}450\\413\end{matrix}\right)
המכפלה של מטריצה וההופכי שלה היא מטריצת הזהות.
\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&3\\3&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}450\\413\end{matrix}\right)
הכפל את המטריצות בצד השמאלי של סימן השוויון.
\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{5\times 4-3\times 3}&-\frac{3}{5\times 4-3\times 3}\\-\frac{3}{5\times 4-3\times 3}&\frac{5}{5\times 4-3\times 3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}450\\413\end{matrix}\right)
עבור המטריצה 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), המטריצה ההפוכה היא \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), כדי שניתן יהיה לכתוב מחדש את משוואת המטריצה כבעיית הכפלת מטריצה.
\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{11}&-\frac{3}{11}\\-\frac{3}{11}&\frac{5}{11}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}450\\413\end{matrix}\right)
בצע את הפעולות האריתמטיות.
\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{11}\times 450-\frac{3}{11}\times 413\\-\frac{3}{11}\times 450+\frac{5}{11}\times 413\end{matrix}\right)
הכפל את המטריצות.
\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}51\\65\end{matrix}\right)
בצע את הפעולות האריתמטיות.
x=51,y=65
חלץ את רכיבי המטריצה x ו- y.
5x+3y=450,3x+4y=413
כדי לפתור באמצעות אלימינציה, המקדמים של אחד מהמשתנים חייבים להיות זהים בשתי המשוואות כדי שהמשתנה יתבטל בעת החסרת משוואה אחת מהשניה.
3\times 5x+3\times 3y=3\times 450,5\times 3x+5\times 4y=5\times 413
כדי להפוך את 5x ו- 3x לשווים, הכפל את כל האיברים בכל אגף של המשוואה הראשונה ב- 3 ואת כל האיברים בכל אגף של המשוואה השניה ב- 5.
15x+9y=1350,15x+20y=2065
פשט.
15x-15x+9y-20y=1350-2065
החסר את 15x+20y=2065 מ- 15x+9y=1350 על-ידי חיסור איברים דומים בכל אחד מהצדדים של סימן השוויון.
9y-20y=1350-2065
הוסף את 15x ל- -15x. האיברים 15x ו- -15x מבטלים זה את זה, ונותרת משוואה שכוללת משתנה אחד בלבד ושניתן לפתור אותה.
-11y=1350-2065
הוסף את 9y ל- -20y.
-11y=-715
הוסף את 1350 ל- -2065.
y=65
חלק את שני האגפים ב- -11.
3x+4\times 65=413
השתמש ב- 65 במקום y ב- 3x+4y=413. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.
3x+260=413
הכפל את 4 ב- 65.
3x=153
החסר 260 משני אגפי המשוואה.
x=51
חלק את שני האגפים ב- 3.
x=51,y=65
המערכת נפתרה כעת.
דוגמאות
משוואה ממעלה שנייה
{ x } ^ { 2 } - 4 x - 5 = 0
טריגונומטריה
4 \sin \theta \cos \theta = 2 \sin \theta
משוואה לינארית
y = 3x + 4
אריתמטיקה
699 * 533
מטריצה
\left[ \begin{array} { l l } { 2 } & { 3 } \\ { 5 } & { 4 } \end{array} \right] \left[ \begin{array} { l l l } { 2 } & { 0 } & { 3 } \\ { -1 } & { 1 } & { 5 } \end{array} \right]
משוואה בו-זמנית
\left. \begin{cases} { 8x+2y = 46 } \\ { 7x+3y = 47 } \end{cases} \right.
גזירה
\frac { d } { d x } \frac { ( 3 x ^ { 2 } - 2 ) } { ( x - 5 ) }
אינטגרציה
\int _ { 0 } ^ { 1 } x e ^ { - x ^ { 2 } } d x
גבולות
\lim _{x \rightarrow-3} \frac{x^{2}-9}{x^{2}+2 x-3}