פתור את {l}{5x+2y=3}{7y+12x=2}

$$\left. \begin{array} { l } { 5 x + 2 y = 3 } \\ { 7 y + 12 x = 2 } \end{array} \right.$$

פתור עבור x, y

$$x = \frac{17}{11} = 1\frac{6}{11} \approx 1.545454545$$

$$y = -\frac{26}{11} = -2\frac{4}{11} \approx -2.363636364$$

שלבים הכוללים שימוש בהחלפה

כדי לפתור זוג משוואות באמצעות החלפה, תחילה פתור אחת מהמשוואות עבור אחד מהמשתנים. לאחר מכן החלף את התוצאה עבור משתנה זה במשוואה השניה.

$$5x+2y=3,12x+7y=2$$

בחר אחת מהמשוואות ופתור אותה עבור x על-ידי בידוד x בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$5x+2y=3$$

החסר ‎2y משני אגפי המשוואה.

$$5x=-2y+3$$

חלק את שני האגפים ב- ‎5.

$$x=\frac{1}{5}\left(-2y+3\right)$$

הכפל את ‎\frac{1}{5} ב- ‎-2y+3.

$$x=-\frac{2}{5}y+\frac{3}{5}$$

השתמש ב- ‎\frac{-2y+3}{5} במקום ‎x במשוואה השניה, ‎12x+7y=2.

$$12\left(-\frac{2}{5}y+\frac{3}{5}\right)+7y=2$$

הכפל את ‎12 ב- ‎\frac{-2y+3}{5}.

$$-\frac{24}{5}y+\frac{36}{5}+7y=2$$

הוסף את ‎-\frac{24y}{5} ל- ‎7y.

$$\frac{11}{5}y+\frac{36}{5}=2$$

החסר ‎\frac{36}{5} משני אגפי המשוואה.

$$\frac{11}{5}y=-\frac{26}{5}$$

חלק את שני אגפי המשוואה ב- ‎\frac{11}{5}, פעולה הזהה להכפלת שני האגפים בהופכי של השבר.

$$y=-\frac{26}{11}$$

השתמש ב- ‎-\frac{26}{11} במקום y ב- ‎x=-\frac{2}{5}y+\frac{3}{5}. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.

$$x=-\frac{2}{5}\left(-\frac{26}{11}\right)+\frac{3}{5}$$

הכפל את ‎-\frac{2}{5} ב- ‎-\frac{26}{11} על-ידי הכפלת המונה במונה והמכנה במכנה. לאחר מכן צמצם את השבר לאיברים הקטנים ביותר אם הדבר אפשרי.

$$x=\frac{52}{55}+\frac{3}{5}$$

הוסף את ‎\frac{3}{5} ל- ‎\frac{52}{55} על-ידי מציאת מכנה משותף וחיבור המונים. לאחר מכן צמצם את השבר לאיברים הקטנים ביותר אם הדבר אפשרי.

$$x=\frac{17}{11}$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=\frac{17}{11},y=-\frac{26}{11}$$

שלבים הכוללים שימוש במטריצות

העבר את המשוואות לצורה סטנדרטית ולאחר מכן השתמש במטריצות כדי לפתור את מערכת המשוואות.

$$5x+2y=3,12x+7y=2$$

כתוב את המשוואות בצורת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}5&2\\12&7\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3\\2\end{matrix}\right)$$

הכפל את המשוואה שבצד השמאלי במטריצה ההופכית של \left(\begin{matrix}5&2\\12&7\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}5&2\\12&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5&2\\12&7\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&2\\12&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3\\2\end{matrix}\right)$$

המכפלה של מטריצה וההופכי שלה היא מטריצת הזהות.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&2\\12&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3\\2\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&2\\12&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3\\2\end{matrix}\right)$$

עבור המטריצה 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), המטריצה ההפוכה היא \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), כדי שניתן יהיה לכתוב מחדש את משוואת המטריצה כבעיית הכפלת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{5\times 7-2\times 12}&-\frac{2}{5\times 7-2\times 12}\\-\frac{12}{5\times 7-2\times 12}&\frac{5}{5\times 7-2\times 12}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}3\\2\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{11}&-\frac{2}{11}\\-\frac{12}{11}&\frac{5}{11}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}3\\2\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{11}\times 3-\frac{2}{11}\times 2\\-\frac{12}{11}\times 3+\frac{5}{11}\times 2\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{17}{11}\\-\frac{26}{11}\end{matrix}\right)$$

חלץ את רכיבי המטריצה x ו- y.

$$x=\frac{17}{11},y=-\frac{26}{11}$$

שלבים הכוללים שימוש באלימינציה

כדי לפתור באמצעות אלימינציה, המקדמים של אחד מהמשתנים חייבים להיות זהים בשתי המשוואות כדי שהמשתנה יתבטל בעת החסרת משוואה אחת מהשניה.

$$5x+2y=3,12x+7y=2$$

כדי להפוך את ‎5x ו- ‎12x לשווים, הכפל את כל האיברים בכל אגף של המשוואה הראשונה ב- ‎12 ואת כל האיברים בכל אגף של המשוואה השניה ב- ‎5.

$$12\times 5x+12\times 2y=12\times 3,5\times 12x+5\times 7y=5\times 2$$

פשט.

$$60x+24y=36,60x+35y=10$$

החסר את ‎60x+35y=10 מ- ‎60x+24y=36 על-ידי חיסור איברים דומים בכל אחד מהצדדים של סימן השוויון.

$$60x-60x+24y-35y=36-10$$

הוסף את ‎60x ל- ‎-60x. האיברים ‎60x ו- ‎-60x מבטלים זה את זה, ונותרת משוואה שכוללת משתנה אחד בלבד ושניתן לפתור אותה.

$$24y-35y=36-10$$

הוסף את ‎24y ל- ‎-35y.

$$-11y=36-10$$

הוסף את ‎36 ל- ‎-10.

$$-11y=26$$

חלק את שני האגפים ב- ‎-11.

$$y=-\frac{26}{11}$$

השתמש ב- ‎-\frac{26}{11} במקום y ב- ‎12x+7y=2. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.

$$12x+7\left(-\frac{26}{11}\right)=2$$

הכפל את ‎7 ב- ‎-\frac{26}{11}.

$$12x-\frac{182}{11}=2$$

הוסף ‎\frac{182}{11} לשני אגפי המשוואה.

$$12x=\frac{204}{11}$$

חלק את שני האגפים ב- ‎12.

$$x=\frac{17}{11}$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=\frac{17}{11},y=-\frac{26}{11}$$