פתור את {l}{45x-2y=2}{x+2y=7}

$$\left. \begin{array} { l } { 45 x - 2 y = 2 } \\ { x + 2 y = 7 } \end{array} \right.$$

פתור עבור x, y

$$x=\frac{9}{46}\approx 0.195652174$$

$$y = \frac{313}{92} = 3\frac{37}{92} \approx 3.402173913$$

שלבים הכוללים שימוש בהחלפה

כדי לפתור זוג משוואות באמצעות החלפה, תחילה פתור אחת מהמשוואות עבור אחד מהמשתנים. לאחר מכן החלף את התוצאה עבור משתנה זה במשוואה השניה.

$$45x-2y=2,x+2y=7$$

בחר אחת מהמשוואות ופתור אותה עבור x על-ידי בידוד x בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$45x-2y=2$$

הוסף ‎2y לשני אגפי המשוואה.

$$45x=2y+2$$

חלק את שני האגפים ב- ‎45.

$$x=\frac{1}{45}\left(2y+2\right)$$

הכפל את ‎\frac{1}{45} ב- ‎2+2y.

$$x=\frac{2}{45}y+\frac{2}{45}$$

השתמש ב- ‎\frac{2+2y}{45} במקום ‎x במשוואה השניה, ‎x+2y=7.

$$\frac{2}{45}y+\frac{2}{45}+2y=7$$

הוסף את ‎\frac{2y}{45} ל- ‎2y.

$$\frac{92}{45}y+\frac{2}{45}=7$$

החסר ‎\frac{2}{45} משני אגפי המשוואה.

$$\frac{92}{45}y=\frac{313}{45}$$

חלק את שני אגפי המשוואה ב- ‎\frac{92}{45}, פעולה הזהה להכפלת שני האגפים בהופכי של השבר.

$$y=\frac{313}{92}$$

השתמש ב- ‎\frac{313}{92} במקום y ב- ‎x=\frac{2}{45}y+\frac{2}{45}. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.

$$x=\frac{2}{45}\times \frac{313}{92}+\frac{2}{45}$$

הכפל את ‎\frac{2}{45} ב- ‎\frac{313}{92} על-ידי הכפלת המונה במונה והמכנה במכנה. לאחר מכן צמצם את השבר לאיברים הקטנים ביותר אם הדבר אפשרי.

$$x=\frac{313}{2070}+\frac{2}{45}$$

הוסף את ‎\frac{2}{45} ל- ‎\frac{313}{2070} על-ידי מציאת מכנה משותף וחיבור המונים. לאחר מכן צמצם את השבר לאיברים הקטנים ביותר אם הדבר אפשרי.

$$x=\frac{9}{46}$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=\frac{9}{46},y=\frac{313}{92}$$

שלבים הכוללים שימוש במטריצות

העבר את המשוואות לצורה סטנדרטית ולאחר מכן השתמש במטריצות כדי לפתור את מערכת המשוואות.

$$45x-2y=2,x+2y=7$$

כתוב את המשוואות בצורת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}45&-2\\1&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\\7\end{matrix}\right)$$

הכפל את המשוואה שבצד השמאלי במטריצה ההופכית של \left(\begin{matrix}45&-2\\1&2\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}45&-2\\1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}45&-2\\1&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}45&-2\\1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\7\end{matrix}\right)$$

המכפלה של מטריצה וההופכי שלה היא מטריצת הזהות.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}45&-2\\1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\7\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}45&-2\\1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\7\end{matrix}\right)$$

עבור המטריצה 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), המטריצה ההפוכה היא \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), כדי שניתן יהיה לכתוב מחדש את משוואת המטריצה כבעיית הכפלת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{45\times 2-\left(-2\right)}&-\frac{-2}{45\times 2-\left(-2\right)}\\-\frac{1}{45\times 2-\left(-2\right)}&\frac{45}{45\times 2-\left(-2\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2\\7\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{46}&\frac{1}{46}\\-\frac{1}{92}&\frac{45}{92}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2\\7\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{46}\times 2+\frac{1}{46}\times 7\\-\frac{1}{92}\times 2+\frac{45}{92}\times 7\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{9}{46}\\\frac{313}{92}\end{matrix}\right)$$

חלץ את רכיבי המטריצה x ו- y.

$$x=\frac{9}{46},y=\frac{313}{92}$$

שלבים הכוללים שימוש באלימינציה

כדי לפתור באמצעות אלימינציה, המקדמים של אחד מהמשתנים חייבים להיות זהים בשתי המשוואות כדי שהמשתנה יתבטל בעת החסרת משוואה אחת מהשניה.

$$45x-2y=2,x+2y=7$$

כדי להפוך את ‎45x ו- ‎x לשווים, הכפל את כל האיברים בכל אגף של המשוואה הראשונה ב- ‎1 ואת כל האיברים בכל אגף של המשוואה השניה ב- ‎45.

$$45x-2y=2,45x+45\times 2y=45\times 7$$

פשט.

$$45x-2y=2,45x+90y=315$$

החסר את ‎45x+90y=315 מ- ‎45x-2y=2 על-ידי חיסור איברים דומים בכל אחד מהצדדים של סימן השוויון.

$$45x-45x-2y-90y=2-315$$

הוסף את ‎45x ל- ‎-45x. האיברים ‎45x ו- ‎-45x מבטלים זה את זה, ונותרת משוואה שכוללת משתנה אחד בלבד ושניתן לפתור אותה.

$$-2y-90y=2-315$$

הוסף את ‎-2y ל- ‎-90y.

$$-92y=2-315$$

הוסף את ‎2 ל- ‎-315.

$$-92y=-313$$

חלק את שני האגפים ב- ‎-92.

$$y=\frac{313}{92}$$

השתמש ב- ‎\frac{313}{92} במקום y ב- ‎x+2y=7. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.

$$x+2\times \frac{313}{92}=7$$

הכפל את ‎2 ב- ‎\frac{313}{92}.

$$x+\frac{313}{46}=7$$

החסר ‎\frac{313}{46} משני אגפי המשוואה.

$$x=\frac{9}{46}$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=\frac{9}{46},y=\frac{313}{92}$$