פתור את {l}{4y-3x=8}{ax+4=2y}

$$\left. \begin{array} { l } { 4 y - 3 x = 8 } \\ { a x + 4 = 2 y } \end{array} \right.$$

פתור עבור x, y (complex solution)

$$\left\{\begin{matrix}\\x=0\text{, }y=2\text{, }&\text{unconditionally}\\x=\frac{4\left(y-2\right)}{3}\text{, }y\in \mathrm{C}\text{, }&a=\frac{3}{2}\end{matrix}\right.$$

שלבים הכוללים שימוש בהחלפה

שקול את המשוואה השניה. החסר ‎2y משני האגפים.

$$ax+4-2y=0$$

החסר ‎4 משני האגפים. כל מספר המוחסר מאפס נותן את השלילה שלו.

$$ax-2y=-4$$

כדי לפתור זוג משוואות באמצעות החלפה, תחילה פתור אחת מהמשוואות עבור אחד מהמשתנים. לאחר מכן החלף את התוצאה עבור משתנה זה במשוואה השניה.

$$4y-3x=8,-2y+ax=-4$$

בחר אחת מהמשוואות ופתור אותה עבור y על-ידי בידוד y בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$4y-3x=8$$

הוסף ‎3x לשני אגפי המשוואה.

$$4y=3x+8$$

חלק את שני האגפים ב- ‎4.

$$y=\frac{1}{4}\left(3x+8\right)$$

הכפל את ‎\frac{1}{4} ב- ‎3x+8.

$$y=\frac{3}{4}x+2$$

השתמש ב- ‎\frac{3x}{4}+2 במקום ‎y במשוואה השניה, ‎-2y+ax=-4.

$$-2\left(\frac{3}{4}x+2\right)+ax=-4$$

הכפל את ‎-2 ב- ‎\frac{3x}{4}+2.

$$-\frac{3}{2}x-4+ax=-4$$

הוסף את ‎-\frac{3x}{2} ל- ‎ax.

$$\left(a-\frac{3}{2}\right)x-4=-4$$

הוסף ‎4 לשני אגפי המשוואה.

$$\left(a-\frac{3}{2}\right)x=0$$

חלק את שני האגפים ב- ‎-\frac{3}{2}+a.

$$x=0$$

השתמש ב- ‎0 במקום x ב- ‎y=\frac{3}{4}x+2. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את y ישירות.

$$y=2$$

המערכת נפתרה כעת.

$$y=2,x=0$$

שלבים הכוללים שימוש במטריצות

שקול את המשוואה השניה. החסר ‎2y משני האגפים.

$$ax+4-2y=0$$

החסר ‎4 משני האגפים. כל מספר המוחסר מאפס נותן את השלילה שלו.

$$ax-2y=-4$$

העבר את המשוואות לצורה סטנדרטית ולאחר מכן השתמש במטריצות כדי לפתור את מערכת המשוואות.

$$4y-3x=8,-2y+ax=-4$$

כתוב את המשוואות בצורת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}4&-3\\-2&a\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}8\\-4\end{matrix}\right)$$

הכפל את המשוואה שבצד השמאלי במטריצה ההופכית של \left(\begin{matrix}4&-3\\-2&a\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}4&-3\\-2&a\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4&-3\\-2&a\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-3\\-2&a\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\-4\end{matrix}\right)$$

המכפלה של מטריצה וההופכי שלה היא מטריצת הזהות.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-3\\-2&a\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\-4\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-3\\-2&a\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\-4\end{matrix}\right)$$

עבור המטריצה 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), המטריצה ההפוכה היא \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), כדי שניתן יהיה לכתוב מחדש את משוואת המטריצה כבעיית הכפלת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{a}{4a-\left(-3\left(-2\right)\right)}&-\frac{-3}{4a-\left(-3\left(-2\right)\right)}\\-\frac{-2}{4a-\left(-3\left(-2\right)\right)}&\frac{4}{4a-\left(-3\left(-2\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}8\\-4\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{a}{2\left(2a-3\right)}&\frac{3}{2\left(2a-3\right)}\\\frac{1}{2a-3}&\frac{2}{2a-3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}8\\-4\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{a}{2\left(2a-3\right)}\times 8+\frac{3}{2\left(2a-3\right)}\left(-4\right)\\\frac{1}{2a-3}\times 8+\frac{2}{2a-3}\left(-4\right)\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\\0\end{matrix}\right)$$

חלץ את רכיבי המטריצה y ו- x.

$$y=2,x=0$$

שלבים הכוללים שימוש באלימינציה

שקול את המשוואה השניה. החסר ‎2y משני האגפים.

$$ax+4-2y=0$$

החסר ‎4 משני האגפים. כל מספר המוחסר מאפס נותן את השלילה שלו.

$$ax-2y=-4$$

כדי לפתור באמצעות אלימינציה, המקדמים של אחד מהמשתנים חייבים להיות זהים בשתי המשוואות כדי שהמשתנה יתבטל בעת החסרת משוואה אחת מהשניה.

$$4y-3x=8,-2y+ax=-4$$

כדי להפוך את ‎4y ו- ‎-2y לשווים, הכפל את כל האיברים בכל אגף של המשוואה הראשונה ב- ‎-2 ואת כל האיברים בכל אגף של המשוואה השניה ב- ‎4.

$$-2\times 4y-2\left(-3\right)x=-2\times 8,4\left(-2\right)y+4ax=4\left(-4\right)$$

פשט.

$$-8y+6x=-16,-8y+4ax=-16$$

החסר את ‎-8y+4ax=-16 מ- ‎-8y+6x=-16 על-ידי חיסור איברים דומים בכל אחד מהצדדים של סימן השוויון.

$$-8y+8y+6x+\left(-4a\right)x=-16+16$$

הוסף את ‎-8y ל- ‎8y. האיברים ‎-8y ו- ‎8y מבטלים זה את זה, ונותרת משוואה שכוללת משתנה אחד בלבד ושניתן לפתור אותה.

$$6x+\left(-4a\right)x=-16+16$$

הוסף את ‎6x ל- ‎-4ax.

$$\left(6-4a\right)x=-16+16$$

הוסף את ‎-16 ל- ‎16.

$$\left(6-4a\right)x=0$$

חלק את שני האגפים ב- ‎6-4a.

$$x=0$$

השתמש ב- ‎0 במקום x ב- ‎-2y+ax=-4. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את y ישירות.

$$-2y=-4$$

חלק את שני האגפים ב- ‎-2.

$$y=2$$

המערכת נפתרה כעת.

$$y=2,x=0$$

פתור עבור x, y

$$\left\{\begin{matrix}\\x=0\text{, }y=2\text{, }&\text{unconditionally}\\x=\frac{4\left(y-2\right)}{3}\text{, }y\in \mathrm{R}\text{, }&a=\frac{3}{2}\end{matrix}\right.$$

שלבים הכוללים שימוש בהחלפה

שקול את המשוואה השניה. החסר ‎2y משני האגפים.

$$ax+4-2y=0$$

החסר ‎4 משני האגפים. כל מספר המוחסר מאפס נותן את השלילה שלו.

$$ax-2y=-4$$

כדי לפתור זוג משוואות באמצעות החלפה, תחילה פתור אחת מהמשוואות עבור אחד מהמשתנים. לאחר מכן החלף את התוצאה עבור משתנה זה במשוואה השניה.

$$4y-3x=8,-2y+ax=-4$$

בחר אחת מהמשוואות ופתור אותה עבור y על-ידי בידוד y בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$4y-3x=8$$

הוסף ‎3x לשני אגפי המשוואה.

$$4y=3x+8$$

חלק את שני האגפים ב- ‎4.

$$y=\frac{1}{4}\left(3x+8\right)$$

הכפל את ‎\frac{1}{4} ב- ‎3x+8.

$$y=\frac{3}{4}x+2$$

השתמש ב- ‎\frac{3x}{4}+2 במקום ‎y במשוואה השניה, ‎-2y+ax=-4.

$$-2\left(\frac{3}{4}x+2\right)+ax=-4$$

הכפל את ‎-2 ב- ‎\frac{3x}{4}+2.

$$-\frac{3}{2}x-4+ax=-4$$

הוסף את ‎-\frac{3x}{2} ל- ‎ax.

$$\left(a-\frac{3}{2}\right)x-4=-4$$

הוסף ‎4 לשני אגפי המשוואה.

$$\left(a-\frac{3}{2}\right)x=0$$

חלק את שני האגפים ב- ‎-\frac{3}{2}+a.

$$x=0$$

השתמש ב- ‎0 במקום x ב- ‎y=\frac{3}{4}x+2. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את y ישירות.

$$y=2$$

המערכת נפתרה כעת.

$$y=2,x=0$$

שלבים הכוללים שימוש במטריצות

שקול את המשוואה השניה. החסר ‎2y משני האגפים.

$$ax+4-2y=0$$

החסר ‎4 משני האגפים. כל מספר המוחסר מאפס נותן את השלילה שלו.

$$ax-2y=-4$$

העבר את המשוואות לצורה סטנדרטית ולאחר מכן השתמש במטריצות כדי לפתור את מערכת המשוואות.

$$4y-3x=8,-2y+ax=-4$$

כתוב את המשוואות בצורת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}4&-3\\-2&a\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}8\\-4\end{matrix}\right)$$

הכפל את המשוואה שבצד השמאלי במטריצה ההופכית של \left(\begin{matrix}4&-3\\-2&a\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}4&-3\\-2&a\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4&-3\\-2&a\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-3\\-2&a\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\-4\end{matrix}\right)$$

המכפלה של מטריצה וההופכי שלה היא מטריצת הזהות.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-3\\-2&a\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\-4\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-3\\-2&a\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\-4\end{matrix}\right)$$

עבור המטריצה 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), המטריצה ההפוכה היא \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), כדי שניתן יהיה לכתוב מחדש את משוואת המטריצה כבעיית הכפלת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{a}{4a-\left(-3\left(-2\right)\right)}&-\frac{-3}{4a-\left(-3\left(-2\right)\right)}\\-\frac{-2}{4a-\left(-3\left(-2\right)\right)}&\frac{4}{4a-\left(-3\left(-2\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}8\\-4\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{a}{2\left(2a-3\right)}&\frac{3}{2\left(2a-3\right)}\\\frac{1}{2a-3}&\frac{2}{2a-3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}8\\-4\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{a}{2\left(2a-3\right)}\times 8+\frac{3}{2\left(2a-3\right)}\left(-4\right)\\\frac{1}{2a-3}\times 8+\frac{2}{2a-3}\left(-4\right)\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\\0\end{matrix}\right)$$

חלץ את רכיבי המטריצה y ו- x.

$$y=2,x=0$$

שלבים הכוללים שימוש באלימינציה

שקול את המשוואה השניה. החסר ‎2y משני האגפים.

$$ax+4-2y=0$$

החסר ‎4 משני האגפים. כל מספר המוחסר מאפס נותן את השלילה שלו.

$$ax-2y=-4$$

כדי לפתור באמצעות אלימינציה, המקדמים של אחד מהמשתנים חייבים להיות זהים בשתי המשוואות כדי שהמשתנה יתבטל בעת החסרת משוואה אחת מהשניה.

$$4y-3x=8,-2y+ax=-4$$

כדי להפוך את ‎4y ו- ‎-2y לשווים, הכפל את כל האיברים בכל אגף של המשוואה הראשונה ב- ‎-2 ואת כל האיברים בכל אגף של המשוואה השניה ב- ‎4.

$$-2\times 4y-2\left(-3\right)x=-2\times 8,4\left(-2\right)y+4ax=4\left(-4\right)$$

פשט.

$$-8y+6x=-16,-8y+4ax=-16$$

החסר את ‎-8y+4ax=-16 מ- ‎-8y+6x=-16 על-ידי חיסור איברים דומים בכל אחד מהצדדים של סימן השוויון.

$$-8y+8y+6x+\left(-4a\right)x=-16+16$$

הוסף את ‎-8y ל- ‎8y. האיברים ‎-8y ו- ‎8y מבטלים זה את זה, ונותרת משוואה שכוללת משתנה אחד בלבד ושניתן לפתור אותה.

$$6x+\left(-4a\right)x=-16+16$$

הוסף את ‎6x ל- ‎-4ax.

$$\left(6-4a\right)x=-16+16$$

הוסף את ‎-16 ל- ‎16.

$$\left(6-4a\right)x=0$$

חלק את שני האגפים ב- ‎6-4a.

$$x=0$$

השתמש ב- ‎0 במקום x ב- ‎-2y+ax=-4. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את y ישירות.

$$-2y=-4$$

חלק את שני האגפים ב- ‎-2.

$$y=2$$

המערכת נפתרה כעת.

$$y=2,x=0$$