פתור את {l}{4x-7y=23}{6x+2y=-3}

$$\left. \begin{array} { l } { 4 x - 7 y = 23 } \\ { 6 x + 2 y = - 3 } \end{array} \right.$$

פתור עבור x, y

$$x=\frac{1}{2}=0.5$$

$$y=-3$$

שלבים הכוללים שימוש בהחלפה

כדי לפתור זוג משוואות באמצעות החלפה, תחילה פתור אחת מהמשוואות עבור אחד מהמשתנים. לאחר מכן החלף את התוצאה עבור משתנה זה במשוואה השניה.

$$4x-7y=23,6x+2y=-3$$

בחר אחת מהמשוואות ופתור אותה עבור x על-ידי בידוד x בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$4x-7y=23$$

הוסף ‎7y לשני אגפי המשוואה.

$$4x=7y+23$$

חלק את שני האגפים ב- ‎4.

$$x=\frac{1}{4}\left(7y+23\right)$$

הכפל את ‎\frac{1}{4} ב- ‎7y+23.

$$x=\frac{7}{4}y+\frac{23}{4}$$

השתמש ב- ‎\frac{7y+23}{4} במקום ‎x במשוואה השניה, ‎6x+2y=-3.

$$6\left(\frac{7}{4}y+\frac{23}{4}\right)+2y=-3$$

הכפל את ‎6 ב- ‎\frac{7y+23}{4}.

$$\frac{21}{2}y+\frac{69}{2}+2y=-3$$

הוסף את ‎\frac{21y}{2} ל- ‎2y.

$$\frac{25}{2}y+\frac{69}{2}=-3$$

החסר ‎\frac{69}{2} משני אגפי המשוואה.

$$\frac{25}{2}y=-\frac{75}{2}$$

חלק את שני אגפי המשוואה ב- ‎\frac{25}{2}, פעולה הזהה להכפלת שני האגפים בהופכי של השבר.

$$y=-3$$

השתמש ב- ‎-3 במקום y ב- ‎x=\frac{7}{4}y+\frac{23}{4}. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.

$$x=\frac{7}{4}\left(-3\right)+\frac{23}{4}$$

הכפל את ‎\frac{7}{4} ב- ‎-3.

$$x=\frac{-21+23}{4}$$

הוסף את ‎\frac{23}{4} ל- ‎-\frac{21}{4} על-ידי מציאת מכנה משותף וחיבור המונים. לאחר מכן צמצם את השבר לאיברים הקטנים ביותר אם הדבר אפשרי.

$$x=\frac{1}{2}$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=\frac{1}{2},y=-3$$

שלבים הכוללים שימוש במטריצות

העבר את המשוואות לצורה סטנדרטית ולאחר מכן השתמש במטריצות כדי לפתור את מערכת המשוואות.

$$4x-7y=23,6x+2y=-3$$

כתוב את המשוואות בצורת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}4&-7\\6&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}23\\-3\end{matrix}\right)$$

הכפל את המשוואה שבצד השמאלי במטריצה ההופכית של \left(\begin{matrix}4&-7\\6&2\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}4&-7\\6&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4&-7\\6&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-7\\6&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}23\\-3\end{matrix}\right)$$

המכפלה של מטריצה וההופכי שלה היא מטריצת הזהות.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-7\\6&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}23\\-3\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-7\\6&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}23\\-3\end{matrix}\right)$$

עבור המטריצה 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), המטריצה ההפוכה היא \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), כדי שניתן יהיה לכתוב מחדש את משוואת המטריצה כבעיית הכפלת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{4\times 2-\left(-7\times 6\right)}&-\frac{-7}{4\times 2-\left(-7\times 6\right)}\\-\frac{6}{4\times 2-\left(-7\times 6\right)}&\frac{4}{4\times 2-\left(-7\times 6\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}23\\-3\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{25}&\frac{7}{50}\\-\frac{3}{25}&\frac{2}{25}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}23\\-3\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{25}\times 23+\frac{7}{50}\left(-3\right)\\-\frac{3}{25}\times 23+\frac{2}{25}\left(-3\right)\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}\\-3\end{matrix}\right)$$

חלץ את רכיבי המטריצה x ו- y.

$$x=\frac{1}{2},y=-3$$

שלבים הכוללים שימוש באלימינציה

כדי לפתור באמצעות אלימינציה, המקדמים של אחד מהמשתנים חייבים להיות זהים בשתי המשוואות כדי שהמשתנה יתבטל בעת החסרת משוואה אחת מהשניה.

$$4x-7y=23,6x+2y=-3$$

כדי להפוך את ‎4x ו- ‎6x לשווים, הכפל את כל האיברים בכל אגף של המשוואה הראשונה ב- ‎6 ואת כל האיברים בכל אגף של המשוואה השניה ב- ‎4.

$$6\times 4x+6\left(-7\right)y=6\times 23,4\times 6x+4\times 2y=4\left(-3\right)$$

פשט.

$$24x-42y=138,24x+8y=-12$$

החסר את ‎24x+8y=-12 מ- ‎24x-42y=138 על-ידי חיסור איברים דומים בכל אחד מהצדדים של סימן השוויון.

$$24x-24x-42y-8y=138+12$$

הוסף את ‎24x ל- ‎-24x. האיברים ‎24x ו- ‎-24x מבטלים זה את זה, ונותרת משוואה שכוללת משתנה אחד בלבד ושניתן לפתור אותה.

$$-42y-8y=138+12$$

הוסף את ‎-42y ל- ‎-8y.

$$-50y=138+12$$

הוסף את ‎138 ל- ‎12.

$$-50y=150$$

חלק את שני האגפים ב- ‎-50.

$$y=-3$$

השתמש ב- ‎-3 במקום y ב- ‎6x+2y=-3. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.

$$6x+2\left(-3\right)=-3$$

הכפל את ‎2 ב- ‎-3.

$$6x-6=-3$$

הוסף ‎6 לשני אגפי המשוואה.

$$6x=3$$

חלק את שני האגפים ב- ‎6.

$$x=\frac{1}{2}$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=\frac{1}{2},y=-3$$