פתור את {l}{4x-3y=21}{x=-y}

$$\left. \begin{array} { l } { 4 x - 3 y = 21 } \\ { x = - y } \end{array} \right.$$

פתור עבור x, y

$$x=3$$

$$y=-3$$

שלבים הכוללים שימוש בהחלפה

שקול את המשוואה השניה. הוסף ‎y משני הצדדים.

$$x+y=0$$

כדי לפתור זוג משוואות באמצעות החלפה, תחילה פתור אחת מהמשוואות עבור אחד מהמשתנים. לאחר מכן החלף את התוצאה עבור משתנה זה במשוואה השניה.

$$4x-3y=21,x+y=0$$

בחר אחת מהמשוואות ופתור אותה עבור x על-ידי בידוד x בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$4x-3y=21$$

הוסף ‎3y לשני אגפי המשוואה.

$$4x=3y+21$$

חלק את שני האגפים ב- ‎4.

$$x=\frac{1}{4}\left(3y+21\right)$$

הכפל את ‎\frac{1}{4} ב- ‎21+3y.

$$x=\frac{3}{4}y+\frac{21}{4}$$

השתמש ב- ‎\frac{21+3y}{4} במקום ‎x במשוואה השניה, ‎x+y=0.

$$\frac{3}{4}y+\frac{21}{4}+y=0$$

הוסף את ‎\frac{3y}{4} ל- ‎y.

$$\frac{7}{4}y+\frac{21}{4}=0$$

החסר ‎\frac{21}{4} משני אגפי המשוואה.

$$\frac{7}{4}y=-\frac{21}{4}$$

חלק את שני אגפי המשוואה ב- ‎\frac{7}{4}, פעולה הזהה להכפלת שני האגפים בהופכי של השבר.

$$y=-3$$

השתמש ב- ‎-3 במקום y ב- ‎x=\frac{3}{4}y+\frac{21}{4}. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.

$$x=\frac{3}{4}\left(-3\right)+\frac{21}{4}$$

הכפל את ‎\frac{3}{4} ב- ‎-3.

$$x=\frac{-9+21}{4}$$

הוסף את ‎\frac{21}{4} ל- ‎-\frac{9}{4} על-ידי מציאת מכנה משותף וחיבור המונים. לאחר מכן צמצם את השבר לאיברים הקטנים ביותר אם הדבר אפשרי.

$$x=3$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=3,y=-3$$

שלבים הכוללים שימוש במטריצות

שקול את המשוואה השניה. הוסף ‎y משני הצדדים.

$$x+y=0$$

העבר את המשוואות לצורה סטנדרטית ולאחר מכן השתמש במטריצות כדי לפתור את מערכת המשוואות.

$$4x-3y=21,x+y=0$$

כתוב את המשוואות בצורת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}4&-3\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}21\\0\end{matrix}\right)$$

הכפל את המשוואה שבצד השמאלי במטריצה ההופכית של \left(\begin{matrix}4&-3\\1&1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}4&-3\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4&-3\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-3\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}21\\0\end{matrix}\right)$$

המכפלה של מטריצה וההופכי שלה היא מטריצת הזהות.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-3\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}21\\0\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-3\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}21\\0\end{matrix}\right)$$

עבור המטריצה 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), המטריצה ההפוכה היא \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), כדי שניתן יהיה לכתוב מחדש את משוואת המטריצה כבעיית הכפלת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{4-\left(-3\right)}&-\frac{-3}{4-\left(-3\right)}\\-\frac{1}{4-\left(-3\right)}&\frac{4}{4-\left(-3\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}21\\0\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{7}&\frac{3}{7}\\-\frac{1}{7}&\frac{4}{7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}21\\0\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{7}\times 21\\-\frac{1}{7}\times 21\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3\\-3\end{matrix}\right)$$

חלץ את רכיבי המטריצה x ו- y.

$$x=3,y=-3$$

שלבים הכוללים שימוש באלימינציה

שקול את המשוואה השניה. הוסף ‎y משני הצדדים.

$$x+y=0$$

כדי לפתור באמצעות אלימינציה, המקדמים של אחד מהמשתנים חייבים להיות זהים בשתי המשוואות כדי שהמשתנה יתבטל בעת החסרת משוואה אחת מהשניה.

$$4x-3y=21,x+y=0$$

כדי להפוך את ‎4x ו- ‎x לשווים, הכפל את כל האיברים בכל אגף של המשוואה הראשונה ב- ‎1 ואת כל האיברים בכל אגף של המשוואה השניה ב- ‎4.

$$4x-3y=21,4x+4y=0$$

החסר את ‎4x+4y=0 מ- ‎4x-3y=21 על-ידי חיסור איברים דומים בכל אחד מהצדדים של סימן השוויון.

$$4x-4x-3y-4y=21$$

הוסף את ‎4x ל- ‎-4x. האיברים ‎4x ו- ‎-4x מבטלים זה את זה, ונותרת משוואה שכוללת משתנה אחד בלבד ושניתן לפתור אותה.

$$-3y-4y=21$$

הוסף את ‎-3y ל- ‎-4y.

$$-7y=21$$

חלק את שני האגפים ב- ‎-7.

$$y=-3$$

השתמש ב- ‎-3 במקום y ב- ‎x+y=0. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.

$$x-3=0$$

הוסף ‎3 לשני אגפי המשוואה.

$$x=3$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=3,y=-3$$