פתור את {l}{4x=9-3y}{5y=12-5x}

$$\left. \begin{array} { l } { 4 x = 9 - 3 y } \\ { 5 y = 12 - 5 x } \end{array} \right.$$

פתור עבור x, y

$$x = \frac{9}{5} = 1\frac{4}{5} = 1.8$$

$$y=\frac{3}{5}=0.6$$

שלבים הכוללים שימוש בהחלפה

שקול את המשוואה הראשונה. הוסף ‎3y משני הצדדים.

$$4x+3y=9$$

שקול את המשוואה השניה. הוסף ‎5x משני הצדדים.

$$5y+5x=12$$

כדי לפתור זוג משוואות באמצעות החלפה, תחילה פתור אחת מהמשוואות עבור אחד מהמשתנים. לאחר מכן החלף את התוצאה עבור משתנה זה במשוואה השניה.

$$4x+3y=9,5x+5y=12$$

בחר אחת מהמשוואות ופתור אותה עבור x על-ידי בידוד x בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$4x+3y=9$$

החסר ‎3y משני אגפי המשוואה.

$$4x=-3y+9$$

חלק את שני האגפים ב- ‎4.

$$x=\frac{1}{4}\left(-3y+9\right)$$

הכפל את ‎\frac{1}{4} ב- ‎-3y+9.

$$x=-\frac{3}{4}y+\frac{9}{4}$$

השתמש ב- ‎\frac{-3y+9}{4} במקום ‎x במשוואה השניה, ‎5x+5y=12.

$$5\left(-\frac{3}{4}y+\frac{9}{4}\right)+5y=12$$

הכפל את ‎5 ב- ‎\frac{-3y+9}{4}.

$$-\frac{15}{4}y+\frac{45}{4}+5y=12$$

הוסף את ‎-\frac{15y}{4} ל- ‎5y.

$$\frac{5}{4}y+\frac{45}{4}=12$$

החסר ‎\frac{45}{4} משני אגפי המשוואה.

$$\frac{5}{4}y=\frac{3}{4}$$

חלק את שני אגפי המשוואה ב- ‎\frac{5}{4}, פעולה הזהה להכפלת שני האגפים בהופכי של השבר.

$$y=\frac{3}{5}$$

השתמש ב- ‎\frac{3}{5} במקום y ב- ‎x=-\frac{3}{4}y+\frac{9}{4}. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.

$$x=-\frac{3}{4}\times \frac{3}{5}+\frac{9}{4}$$

הכפל את ‎-\frac{3}{4} ב- ‎\frac{3}{5} על-ידי הכפלת המונה במונה והמכנה במכנה. לאחר מכן צמצם את השבר לאיברים הקטנים ביותר אם הדבר אפשרי.

$$x=-\frac{9}{20}+\frac{9}{4}$$

הוסף את ‎\frac{9}{4} ל- ‎-\frac{9}{20} על-ידי מציאת מכנה משותף וחיבור המונים. לאחר מכן צמצם את השבר לאיברים הקטנים ביותר אם הדבר אפשרי.

$$x=\frac{9}{5}$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=\frac{9}{5},y=\frac{3}{5}$$

שלבים הכוללים שימוש במטריצות

שקול את המשוואה הראשונה. הוסף ‎3y משני הצדדים.

$$4x+3y=9$$

שקול את המשוואה השניה. הוסף ‎5x משני הצדדים.

$$5y+5x=12$$

העבר את המשוואות לצורה סטנדרטית ולאחר מכן השתמש במטריצות כדי לפתור את מערכת המשוואות.

$$4x+3y=9,5x+5y=12$$

כתוב את המשוואות בצורת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}4&3\\5&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}9\\12\end{matrix}\right)$$

הכפל את המשוואה שבצד השמאלי במטריצה ההופכית של \left(\begin{matrix}4&3\\5&5\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}4&3\\5&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4&3\\5&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&3\\5&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9\\12\end{matrix}\right)$$

המכפלה של מטריצה וההופכי שלה היא מטריצת הזהות.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&3\\5&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9\\12\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&3\\5&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9\\12\end{matrix}\right)$$

עבור המטריצה 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), המטריצה ההפוכה היא \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), כדי שניתן יהיה לכתוב מחדש את משוואת המטריצה כבעיית הכפלת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{4\times 5-3\times 5}&-\frac{3}{4\times 5-3\times 5}\\-\frac{5}{4\times 5-3\times 5}&\frac{4}{4\times 5-3\times 5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}9\\12\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1&-\frac{3}{5}\\-1&\frac{4}{5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}9\\12\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}9-\frac{3}{5}\times 12\\-9+\frac{4}{5}\times 12\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{9}{5}\\\frac{3}{5}\end{matrix}\right)$$

חלץ את רכיבי המטריצה x ו- y.

$$x=\frac{9}{5},y=\frac{3}{5}$$

שלבים הכוללים שימוש באלימינציה

שקול את המשוואה הראשונה. הוסף ‎3y משני הצדדים.

$$4x+3y=9$$

שקול את המשוואה השניה. הוסף ‎5x משני הצדדים.

$$5y+5x=12$$

כדי לפתור באמצעות אלימינציה, המקדמים של אחד מהמשתנים חייבים להיות זהים בשתי המשוואות כדי שהמשתנה יתבטל בעת החסרת משוואה אחת מהשניה.

$$4x+3y=9,5x+5y=12$$

כדי להפוך את ‎4x ו- ‎5x לשווים, הכפל את כל האיברים בכל אגף של המשוואה הראשונה ב- ‎5 ואת כל האיברים בכל אגף של המשוואה השניה ב- ‎4.

$$5\times 4x+5\times 3y=5\times 9,4\times 5x+4\times 5y=4\times 12$$

פשט.

$$20x+15y=45,20x+20y=48$$

החסר את ‎20x+20y=48 מ- ‎20x+15y=45 על-ידי חיסור איברים דומים בכל אחד מהצדדים של סימן השוויון.

$$20x-20x+15y-20y=45-48$$

הוסף את ‎20x ל- ‎-20x. האיברים ‎20x ו- ‎-20x מבטלים זה את זה, ונותרת משוואה שכוללת משתנה אחד בלבד ושניתן לפתור אותה.

$$15y-20y=45-48$$

הוסף את ‎15y ל- ‎-20y.

$$-5y=45-48$$

הוסף את ‎45 ל- ‎-48.

$$-5y=-3$$

חלק את שני האגפים ב- ‎-5.

$$y=\frac{3}{5}$$

השתמש ב- ‎\frac{3}{5} במקום y ב- ‎5x+5y=12. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.

$$5x+5\times \frac{3}{5}=12$$

הכפל את ‎5 ב- ‎\frac{3}{5}.

$$5x+3=12$$

החסר ‎3 משני אגפי המשוואה.

$$5x=9$$

חלק את שני האגפים ב- ‎5.

$$x=\frac{9}{5}$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=\frac{9}{5},y=\frac{3}{5}$$