פתור את {l}{4x+8y=-20}{8x+4y=-28}

$$\left. \begin{array} { l } { 4 x + 8 y = - 20 } \\ { 8 x + 4 y = - 28 } \end{array} \right.$$

פתור עבור x, y

$$x=-3$$

$$y=-1$$

שלבים הכוללים שימוש בהחלפה

כדי לפתור זוג משוואות באמצעות החלפה, תחילה פתור אחת מהמשוואות עבור אחד מהמשתנים. לאחר מכן החלף את התוצאה עבור משתנה זה במשוואה השניה.

$$4x+8y=-20,8x+4y=-28$$

בחר אחת מהמשוואות ופתור אותה עבור x על-ידי בידוד x בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$4x+8y=-20$$

החסר ‎8y משני אגפי המשוואה.

$$4x=-8y-20$$

חלק את שני האגפים ב- ‎4.

$$x=\frac{1}{4}\left(-8y-20\right)$$

הכפל את ‎\frac{1}{4} ב- ‎-8y-20.

$$x=-2y-5$$

השתמש ב- ‎-2y-5 במקום ‎x במשוואה השניה, ‎8x+4y=-28.

$$8\left(-2y-5\right)+4y=-28$$

הכפל את ‎8 ב- ‎-2y-5.

$$-16y-40+4y=-28$$

הוסף את ‎-16y ל- ‎4y.

$$-12y-40=-28$$

הוסף ‎40 לשני אגפי המשוואה.

$$-12y=12$$

חלק את שני האגפים ב- ‎-12.

$$y=-1$$

השתמש ב- ‎-1 במקום y ב- ‎x=-2y-5. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.

$$x=-2\left(-1\right)-5$$

הכפל את ‎-2 ב- ‎-1.

$$x=2-5$$

הוסף את ‎-5 ל- ‎2.

$$x=-3$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=-3,y=-1$$

שלבים הכוללים שימוש במטריצות

העבר את המשוואות לצורה סטנדרטית ולאחר מכן השתמש במטריצות כדי לפתור את מערכת המשוואות.

$$4x+8y=-20,8x+4y=-28$$

כתוב את המשוואות בצורת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}4&8\\8&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-20\\-28\end{matrix}\right)$$

הכפל את המשוואה שבצד השמאלי במטריצה ההופכית של \left(\begin{matrix}4&8\\8&4\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}4&8\\8&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4&8\\8&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&8\\8&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-20\\-28\end{matrix}\right)$$

המכפלה של מטריצה וההופכי שלה היא מטריצת הזהות.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&8\\8&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-20\\-28\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&8\\8&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-20\\-28\end{matrix}\right)$$

עבור המטריצה 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), המטריצה ההפוכה היא \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), כדי שניתן יהיה לכתוב מחדש את משוואת המטריצה כבעיית הכפלת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{4\times 4-8\times 8}&-\frac{8}{4\times 4-8\times 8}\\-\frac{8}{4\times 4-8\times 8}&\frac{4}{4\times 4-8\times 8}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-20\\-28\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{12}&\frac{1}{6}\\\frac{1}{6}&-\frac{1}{12}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-20\\-28\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{12}\left(-20\right)+\frac{1}{6}\left(-28\right)\\\frac{1}{6}\left(-20\right)-\frac{1}{12}\left(-28\right)\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-3\\-1\end{matrix}\right)$$

חלץ את רכיבי המטריצה x ו- y.

$$x=-3,y=-1$$

שלבים הכוללים שימוש באלימינציה

כדי לפתור באמצעות אלימינציה, המקדמים של אחד מהמשתנים חייבים להיות זהים בשתי המשוואות כדי שהמשתנה יתבטל בעת החסרת משוואה אחת מהשניה.

$$4x+8y=-20,8x+4y=-28$$

כדי להפוך את ‎4x ו- ‎8x לשווים, הכפל את כל האיברים בכל אגף של המשוואה הראשונה ב- ‎8 ואת כל האיברים בכל אגף של המשוואה השניה ב- ‎4.

$$8\times 4x+8\times 8y=8\left(-20\right),4\times 8x+4\times 4y=4\left(-28\right)$$

פשט.

$$32x+64y=-160,32x+16y=-112$$

החסר את ‎32x+16y=-112 מ- ‎32x+64y=-160 על-ידי חיסור איברים דומים בכל אחד מהצדדים של סימן השוויון.

$$32x-32x+64y-16y=-160+112$$

הוסף את ‎32x ל- ‎-32x. האיברים ‎32x ו- ‎-32x מבטלים זה את זה, ונותרת משוואה שכוללת משתנה אחד בלבד ושניתן לפתור אותה.

$$64y-16y=-160+112$$

הוסף את ‎64y ל- ‎-16y.

$$48y=-160+112$$

הוסף את ‎-160 ל- ‎112.

$$48y=-48$$

חלק את שני האגפים ב- ‎48.

$$y=-1$$

השתמש ב- ‎-1 במקום y ב- ‎8x+4y=-28. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.

$$8x+4\left(-1\right)=-28$$

הכפל את ‎4 ב- ‎-1.

$$8x-4=-28$$

הוסף ‎4 לשני אגפי המשוואה.

$$8x=-24$$

חלק את שני האגפים ב- ‎8.

$$x=-3$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=-3,y=-1$$