פתור את {l}{4x+5y=-14}{-9x-9y=9}

$$\left. \begin{array} { l } { 4 x + 5 y = - 14 } \\ { - 9 x - 9 y = 9 } \end{array} \right.$$

פתור עבור x, y

$$x=9$$

$$y=-10$$

שלבים הכוללים שימוש בהחלפה

כדי לפתור זוג משוואות באמצעות החלפה, תחילה פתור אחת מהמשוואות עבור אחד מהמשתנים. לאחר מכן החלף את התוצאה עבור משתנה זה במשוואה השניה.

$$4x+5y=-14,-9x-9y=9$$

בחר אחת מהמשוואות ופתור אותה עבור x על-ידי בידוד x בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$4x+5y=-14$$

החסר ‎5y משני אגפי המשוואה.

$$4x=-5y-14$$

חלק את שני האגפים ב- ‎4.

$$x=\frac{1}{4}\left(-5y-14\right)$$

הכפל את ‎\frac{1}{4} ב- ‎-5y-14.

$$x=-\frac{5}{4}y-\frac{7}{2}$$

השתמש ב- ‎-\frac{5y}{4}-\frac{7}{2} במקום ‎x במשוואה השניה, ‎-9x-9y=9.

$$-9\left(-\frac{5}{4}y-\frac{7}{2}\right)-9y=9$$

הכפל את ‎-9 ב- ‎-\frac{5y}{4}-\frac{7}{2}.

$$\frac{45}{4}y+\frac{63}{2}-9y=9$$

הוסף את ‎\frac{45y}{4} ל- ‎-9y.

$$\frac{9}{4}y+\frac{63}{2}=9$$

החסר ‎\frac{63}{2} משני אגפי המשוואה.

$$\frac{9}{4}y=-\frac{45}{2}$$

חלק את שני אגפי המשוואה ב- ‎\frac{9}{4}, פעולה הזהה להכפלת שני האגפים בהופכי של השבר.

$$y=-10$$

השתמש ב- ‎-10 במקום y ב- ‎x=-\frac{5}{4}y-\frac{7}{2}. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.

$$x=-\frac{5}{4}\left(-10\right)-\frac{7}{2}$$

הכפל את ‎-\frac{5}{4} ב- ‎-10.

$$x=\frac{25-7}{2}$$

הוסף את ‎-\frac{7}{2} ל- ‎\frac{25}{2} על-ידי מציאת מכנה משותף וחיבור המונים. לאחר מכן צמצם את השבר לאיברים הקטנים ביותר אם הדבר אפשרי.

$$x=9$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=9,y=-10$$

שלבים הכוללים שימוש במטריצות

העבר את המשוואות לצורה סטנדרטית ולאחר מכן השתמש במטריצות כדי לפתור את מערכת המשוואות.

$$4x+5y=-14,-9x-9y=9$$

כתוב את המשוואות בצורת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}4&5\\-9&-9\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-14\\9\end{matrix}\right)$$

הכפל את המשוואה שבצד השמאלי במטריצה ההופכית של \left(\begin{matrix}4&5\\-9&-9\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}4&5\\-9&-9\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4&5\\-9&-9\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&5\\-9&-9\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-14\\9\end{matrix}\right)$$

המכפלה של מטריצה וההופכי שלה היא מטריצת הזהות.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&5\\-9&-9\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-14\\9\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&5\\-9&-9\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-14\\9\end{matrix}\right)$$

עבור המטריצה 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), המטריצה ההפוכה היא \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), כדי שניתן יהיה לכתוב מחדש את משוואת המטריצה כבעיית הכפלת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{9}{4\left(-9\right)-5\left(-9\right)}&-\frac{5}{4\left(-9\right)-5\left(-9\right)}\\-\frac{-9}{4\left(-9\right)-5\left(-9\right)}&\frac{4}{4\left(-9\right)-5\left(-9\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-14\\9\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-1&-\frac{5}{9}\\1&\frac{4}{9}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-14\\9\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\left(-14\right)-\frac{5}{9}\times 9\\-14+\frac{4}{9}\times 9\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}9\\-10\end{matrix}\right)$$

חלץ את רכיבי המטריצה x ו- y.

$$x=9,y=-10$$

שלבים הכוללים שימוש באלימינציה

כדי לפתור באמצעות אלימינציה, המקדמים של אחד מהמשתנים חייבים להיות זהים בשתי המשוואות כדי שהמשתנה יתבטל בעת החסרת משוואה אחת מהשניה.

$$4x+5y=-14,-9x-9y=9$$

כדי להפוך את ‎4x ו- ‎-9x לשווים, הכפל את כל האיברים בכל אגף של המשוואה הראשונה ב- ‎-9 ואת כל האיברים בכל אגף של המשוואה השניה ב- ‎4.

$$-9\times 4x-9\times 5y=-9\left(-14\right),4\left(-9\right)x+4\left(-9\right)y=4\times 9$$

פשט.

$$-36x-45y=126,-36x-36y=36$$

החסר את ‎-36x-36y=36 מ- ‎-36x-45y=126 על-ידי חיסור איברים דומים בכל אחד מהצדדים של סימן השוויון.

$$-36x+36x-45y+36y=126-36$$

הוסף את ‎-36x ל- ‎36x. האיברים ‎-36x ו- ‎36x מבטלים זה את זה, ונותרת משוואה שכוללת משתנה אחד בלבד ושניתן לפתור אותה.

$$-45y+36y=126-36$$

הוסף את ‎-45y ל- ‎36y.

$$-9y=126-36$$

הוסף את ‎126 ל- ‎-36.

$$-9y=90$$

חלק את שני האגפים ב- ‎-9.

$$y=-10$$

השתמש ב- ‎-10 במקום y ב- ‎-9x-9y=9. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.

$$-9x-9\left(-10\right)=9$$

הכפל את ‎-9 ב- ‎-10.

$$-9x+90=9$$

החסר ‎90 משני אגפי המשוואה.

$$-9x=-81$$

חלק את שני האגפים ב- ‎-9.

$$x=9$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=9,y=-10$$