פתור את {l}{4x+5y=-12}{5x-17=-7y}

$$\left. \begin{array} { l } { 4 x + 5 y = - 12 } \\ { 5 x - 17 = - 7 y } \end{array} \right.$$

פתור עבור x, y

$$x = -\frac{169}{3} = -56\frac{1}{3} \approx -56.333333333$$

$$y = \frac{128}{3} = 42\frac{2}{3} \approx 42.666666667$$

שלבים הכוללים שימוש בהחלפה

שקול את המשוואה השניה. הוסף ‎7y משני הצדדים.

$$5x-17+7y=0$$

הוסף ‎17 משני הצדדים. כל מספר ועוד אפס שווה לעצמו.

$$5x+7y=17$$

כדי לפתור זוג משוואות באמצעות החלפה, תחילה פתור אחת מהמשוואות עבור אחד מהמשתנים. לאחר מכן החלף את התוצאה עבור משתנה זה במשוואה השניה.

$$4x+5y=-12,5x+7y=17$$

בחר אחת מהמשוואות ופתור אותה עבור x על-ידי בידוד x בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$4x+5y=-12$$

החסר ‎5y משני אגפי המשוואה.

$$4x=-5y-12$$

חלק את שני האגפים ב- ‎4.

$$x=\frac{1}{4}\left(-5y-12\right)$$

הכפל את ‎\frac{1}{4} ב- ‎-5y-12.

$$x=-\frac{5}{4}y-3$$

השתמש ב- ‎-\frac{5y}{4}-3 במקום ‎x במשוואה השניה, ‎5x+7y=17.

$$5\left(-\frac{5}{4}y-3\right)+7y=17$$

הכפל את ‎5 ב- ‎-\frac{5y}{4}-3.

$$-\frac{25}{4}y-15+7y=17$$

הוסף את ‎-\frac{25y}{4} ל- ‎7y.

$$\frac{3}{4}y-15=17$$

הוסף ‎15 לשני אגפי המשוואה.

$$\frac{3}{4}y=32$$

חלק את שני אגפי המשוואה ב- ‎\frac{3}{4}, פעולה הזהה להכפלת שני האגפים בהופכי של השבר.

$$y=\frac{128}{3}$$

השתמש ב- ‎\frac{128}{3} במקום y ב- ‎x=-\frac{5}{4}y-3. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.

$$x=-\frac{5}{4}\times \frac{128}{3}-3$$

הכפל את ‎-\frac{5}{4} ב- ‎\frac{128}{3} על-ידי הכפלת המונה במונה והמכנה במכנה. לאחר מכן צמצם את השבר לאיברים הקטנים ביותר אם הדבר אפשרי.

$$x=-\frac{160}{3}-3$$

הוסף את ‎-3 ל- ‎-\frac{160}{3}.

$$x=-\frac{169}{3}$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=-\frac{169}{3},y=\frac{128}{3}$$

שלבים הכוללים שימוש במטריצות

שקול את המשוואה השניה. הוסף ‎7y משני הצדדים.

$$5x-17+7y=0$$

הוסף ‎17 משני הצדדים. כל מספר ועוד אפס שווה לעצמו.

$$5x+7y=17$$

העבר את המשוואות לצורה סטנדרטית ולאחר מכן השתמש במטריצות כדי לפתור את מערכת המשוואות.

$$4x+5y=-12,5x+7y=17$$

כתוב את המשוואות בצורת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}4&5\\5&7\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-12\\17\end{matrix}\right)$$

הכפל את המשוואה שבצד השמאלי במטריצה ההופכית של \left(\begin{matrix}4&5\\5&7\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}4&5\\5&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4&5\\5&7\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&5\\5&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-12\\17\end{matrix}\right)$$

המכפלה של מטריצה וההופכי שלה היא מטריצת הזהות.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&5\\5&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-12\\17\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&5\\5&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-12\\17\end{matrix}\right)$$

עבור המטריצה 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), המטריצה ההפוכה היא \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), כדי שניתן יהיה לכתוב מחדש את משוואת המטריצה כבעיית הכפלת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{4\times 7-5\times 5}&-\frac{5}{4\times 7-5\times 5}\\-\frac{5}{4\times 7-5\times 5}&\frac{4}{4\times 7-5\times 5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-12\\17\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{3}&-\frac{5}{3}\\-\frac{5}{3}&\frac{4}{3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-12\\17\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{3}\left(-12\right)-\frac{5}{3}\times 17\\-\frac{5}{3}\left(-12\right)+\frac{4}{3}\times 17\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{169}{3}\\\frac{128}{3}\end{matrix}\right)$$

חלץ את רכיבי המטריצה x ו- y.

$$x=-\frac{169}{3},y=\frac{128}{3}$$

שלבים הכוללים שימוש באלימינציה

שקול את המשוואה השניה. הוסף ‎7y משני הצדדים.

$$5x-17+7y=0$$

הוסף ‎17 משני הצדדים. כל מספר ועוד אפס שווה לעצמו.

$$5x+7y=17$$

כדי לפתור באמצעות אלימינציה, המקדמים של אחד מהמשתנים חייבים להיות זהים בשתי המשוואות כדי שהמשתנה יתבטל בעת החסרת משוואה אחת מהשניה.

$$4x+5y=-12,5x+7y=17$$

כדי להפוך את ‎4x ו- ‎5x לשווים, הכפל את כל האיברים בכל אגף של המשוואה הראשונה ב- ‎5 ואת כל האיברים בכל אגף של המשוואה השניה ב- ‎4.

$$5\times 4x+5\times 5y=5\left(-12\right),4\times 5x+4\times 7y=4\times 17$$

פשט.

$$20x+25y=-60,20x+28y=68$$

החסר את ‎20x+28y=68 מ- ‎20x+25y=-60 על-ידי חיסור איברים דומים בכל אחד מהצדדים של סימן השוויון.

$$20x-20x+25y-28y=-60-68$$

הוסף את ‎20x ל- ‎-20x. האיברים ‎20x ו- ‎-20x מבטלים זה את זה, ונותרת משוואה שכוללת משתנה אחד בלבד ושניתן לפתור אותה.

$$25y-28y=-60-68$$

הוסף את ‎25y ל- ‎-28y.

$$-3y=-60-68$$

הוסף את ‎-60 ל- ‎-68.

$$-3y=-128$$

חלק את שני האגפים ב- ‎-3.

$$y=\frac{128}{3}$$

השתמש ב- ‎\frac{128}{3} במקום y ב- ‎5x+7y=17. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.

$$5x+7\times \frac{128}{3}=17$$

הכפל את ‎7 ב- ‎\frac{128}{3}.

$$5x+\frac{896}{3}=17$$

החסר ‎\frac{896}{3} משני אגפי המשוואה.

$$5x=-\frac{845}{3}$$

חלק את שני האגפים ב- ‎5.

$$x=-\frac{169}{3}$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=-\frac{169}{3},y=\frac{128}{3}$$