פתור את {l}{4x+3y=25}{x-3y/2=-14}

$$\left. \begin{array} { l } { 4 x + 3 y = 25 } \\ { x - \frac { 3 y } { 2 } = - 14 } \end{array} \right.$$

פתור עבור x, y

$$x=-\frac{1}{2}=-0.5$$

$$y=9$$

שלבים הכוללים שימוש בהחלפה

שקול את המשוואה השניה. הכפל את שני אגפי המשוואה ב- ‎2.

$$2x-3y=-28$$

כדי לפתור זוג משוואות באמצעות החלפה, תחילה פתור אחת מהמשוואות עבור אחד מהמשתנים. לאחר מכן החלף את התוצאה עבור משתנה זה במשוואה השניה.

$$4x+3y=25,2x-3y=-28$$

בחר אחת מהמשוואות ופתור אותה עבור x על-ידי בידוד x בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$4x+3y=25$$

החסר ‎3y משני אגפי המשוואה.

$$4x=-3y+25$$

חלק את שני האגפים ב- ‎4.

$$x=\frac{1}{4}\left(-3y+25\right)$$

הכפל את ‎\frac{1}{4} ב- ‎-3y+25.

$$x=-\frac{3}{4}y+\frac{25}{4}$$

השתמש ב- ‎\frac{-3y+25}{4} במקום ‎x במשוואה השניה, ‎2x-3y=-28.

$$2\left(-\frac{3}{4}y+\frac{25}{4}\right)-3y=-28$$

הכפל את ‎2 ב- ‎\frac{-3y+25}{4}.

$$-\frac{3}{2}y+\frac{25}{2}-3y=-28$$

הוסף את ‎-\frac{3y}{2} ל- ‎-3y.

$$-\frac{9}{2}y+\frac{25}{2}=-28$$

החסר ‎\frac{25}{2} משני אגפי המשוואה.

$$-\frac{9}{2}y=-\frac{81}{2}$$

חלק את שני אגפי המשוואה ב- ‎-\frac{9}{2}, פעולה הזהה להכפלת שני האגפים בהופכי של השבר.

$$y=9$$

השתמש ב- ‎9 במקום y ב- ‎x=-\frac{3}{4}y+\frac{25}{4}. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.

$$x=-\frac{3}{4}\times 9+\frac{25}{4}$$

הכפל את ‎-\frac{3}{4} ב- ‎9.

$$x=\frac{-27+25}{4}$$

הוסף את ‎\frac{25}{4} ל- ‎-\frac{27}{4} על-ידי מציאת מכנה משותף וחיבור המונים. לאחר מכן צמצם את השבר לאיברים הקטנים ביותר אם הדבר אפשרי.

$$x=-\frac{1}{2}$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=-\frac{1}{2},y=9$$

שלבים הכוללים שימוש במטריצות

שקול את המשוואה השניה. הכפל את שני אגפי המשוואה ב- ‎2.

$$2x-3y=-28$$

העבר את המשוואות לצורה סטנדרטית ולאחר מכן השתמש במטריצות כדי לפתור את מערכת המשוואות.

$$4x+3y=25,2x-3y=-28$$

כתוב את המשוואות בצורת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}4&3\\2&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}25\\-28\end{matrix}\right)$$

הכפל את המשוואה שבצד השמאלי במטריצה ההופכית של \left(\begin{matrix}4&3\\2&-3\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}4&3\\2&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4&3\\2&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&3\\2&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}25\\-28\end{matrix}\right)$$

המכפלה של מטריצה וההופכי שלה היא מטריצת הזהות.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&3\\2&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}25\\-28\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&3\\2&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}25\\-28\end{matrix}\right)$$

עבור המטריצה 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), המטריצה ההפוכה היא \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), כדי שניתן יהיה לכתוב מחדש את משוואת המטריצה כבעיית הכפלת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{3}{4\left(-3\right)-3\times 2}&-\frac{3}{4\left(-3\right)-3\times 2}\\-\frac{2}{4\left(-3\right)-3\times 2}&\frac{4}{4\left(-3\right)-3\times 2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}25\\-28\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{6}&\frac{1}{6}\\\frac{1}{9}&-\frac{2}{9}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}25\\-28\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{6}\times 25+\frac{1}{6}\left(-28\right)\\\frac{1}{9}\times 25-\frac{2}{9}\left(-28\right)\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{2}\\9\end{matrix}\right)$$

חלץ את רכיבי המטריצה x ו- y.

$$x=-\frac{1}{2},y=9$$

שלבים הכוללים שימוש באלימינציה

שקול את המשוואה השניה. הכפל את שני אגפי המשוואה ב- ‎2.

$$2x-3y=-28$$

כדי לפתור באמצעות אלימינציה, המקדמים של אחד מהמשתנים חייבים להיות זהים בשתי המשוואות כדי שהמשתנה יתבטל בעת החסרת משוואה אחת מהשניה.

$$4x+3y=25,2x-3y=-28$$

כדי להפוך את ‎4x ו- ‎2x לשווים, הכפל את כל האיברים בכל אגף של המשוואה הראשונה ב- ‎2 ואת כל האיברים בכל אגף של המשוואה השניה ב- ‎4.

$$2\times 4x+2\times 3y=2\times 25,4\times 2x+4\left(-3\right)y=4\left(-28\right)$$

פשט.

$$8x+6y=50,8x-12y=-112$$

החסר את ‎8x-12y=-112 מ- ‎8x+6y=50 על-ידי חיסור איברים דומים בכל אחד מהצדדים של סימן השוויון.

$$8x-8x+6y+12y=50+112$$

הוסף את ‎8x ל- ‎-8x. האיברים ‎8x ו- ‎-8x מבטלים זה את זה, ונותרת משוואה שכוללת משתנה אחד בלבד ושניתן לפתור אותה.

$$6y+12y=50+112$$

הוסף את ‎6y ל- ‎12y.

$$18y=50+112$$

הוסף את ‎50 ל- ‎112.

$$18y=162$$

חלק את שני האגפים ב- ‎18.

$$y=9$$

השתמש ב- ‎9 במקום y ב- ‎2x-3y=-28. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.

$$2x-3\times 9=-28$$

הכפל את ‎-3 ב- ‎9.

$$2x-27=-28$$

הוסף ‎27 לשני אגפי המשוואה.

$$2x=-1$$

חלק את שני האגפים ב- ‎2.

$$x=-\frac{1}{2}$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=-\frac{1}{2},y=9$$