פתור את {l}{3x-5y=3}{4x+2y=6}

$$\left. \begin{array} { l } { 3 x - 5 y = 3 } \\ { 4 x + 2 y = 6 } \end{array} \right.$$

פתור עבור x, y

$$x = \frac{18}{13} = 1\frac{5}{13} \approx 1.384615385$$

$$y=\frac{3}{13}\approx 0.230769231$$

שלבים הכוללים שימוש בהחלפה

כדי לפתור זוג משוואות באמצעות החלפה, תחילה פתור אחת מהמשוואות עבור אחד מהמשתנים. לאחר מכן החלף את התוצאה עבור משתנה זה במשוואה השניה.

$$3x-5y=3,4x+2y=6$$

בחר אחת מהמשוואות ופתור אותה עבור x על-ידי בידוד x בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$3x-5y=3$$

הוסף ‎5y לשני אגפי המשוואה.

$$3x=5y+3$$

חלק את שני האגפים ב- ‎3.

$$x=\frac{1}{3}\left(5y+3\right)$$

הכפל את ‎\frac{1}{3} ב- ‎5y+3.

$$x=\frac{5}{3}y+1$$

השתמש ב- ‎\frac{5y}{3}+1 במקום ‎x במשוואה השניה, ‎4x+2y=6.

$$4\left(\frac{5}{3}y+1\right)+2y=6$$

הכפל את ‎4 ב- ‎\frac{5y}{3}+1.

$$\frac{20}{3}y+4+2y=6$$

הוסף את ‎\frac{20y}{3} ל- ‎2y.

$$\frac{26}{3}y+4=6$$

החסר ‎4 משני אגפי המשוואה.

$$\frac{26}{3}y=2$$

חלק את שני אגפי המשוואה ב- ‎\frac{26}{3}, פעולה הזהה להכפלת שני האגפים בהופכי של השבר.

$$y=\frac{3}{13}$$

השתמש ב- ‎\frac{3}{13} במקום y ב- ‎x=\frac{5}{3}y+1. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.

$$x=\frac{5}{3}\times \frac{3}{13}+1$$

הכפל את ‎\frac{5}{3} ב- ‎\frac{3}{13} על-ידי הכפלת המונה במונה והמכנה במכנה. לאחר מכן צמצם את השבר לאיברים הקטנים ביותר אם הדבר אפשרי.

$$x=\frac{5}{13}+1$$

הוסף את ‎1 ל- ‎\frac{5}{13}.

$$x=\frac{18}{13}$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=\frac{18}{13},y=\frac{3}{13}$$

שלבים הכוללים שימוש במטריצות

העבר את המשוואות לצורה סטנדרטית ולאחר מכן השתמש במטריצות כדי לפתור את מערכת המשוואות.

$$3x-5y=3,4x+2y=6$$

כתוב את המשוואות בצורת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}3&-5\\4&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3\\6\end{matrix}\right)$$

הכפל את המשוואה שבצד השמאלי במטריצה ההופכית של \left(\begin{matrix}3&-5\\4&2\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&-5\\4&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&-5\\4&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-5\\4&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3\\6\end{matrix}\right)$$

המכפלה של מטריצה וההופכי שלה היא מטריצת הזהות.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-5\\4&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3\\6\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-5\\4&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3\\6\end{matrix}\right)$$

עבור המטריצה 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), המטריצה ההפוכה היא \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), כדי שניתן יהיה לכתוב מחדש את משוואת המטריצה כבעיית הכפלת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{3\times 2-\left(-5\times 4\right)}&-\frac{-5}{3\times 2-\left(-5\times 4\right)}\\-\frac{4}{3\times 2-\left(-5\times 4\right)}&\frac{3}{3\times 2-\left(-5\times 4\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}3\\6\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{13}&\frac{5}{26}\\-\frac{2}{13}&\frac{3}{26}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}3\\6\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{13}\times 3+\frac{5}{26}\times 6\\-\frac{2}{13}\times 3+\frac{3}{26}\times 6\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{18}{13}\\\frac{3}{13}\end{matrix}\right)$$

חלץ את רכיבי המטריצה x ו- y.

$$x=\frac{18}{13},y=\frac{3}{13}$$

שלבים הכוללים שימוש באלימינציה

כדי לפתור באמצעות אלימינציה, המקדמים של אחד מהמשתנים חייבים להיות זהים בשתי המשוואות כדי שהמשתנה יתבטל בעת החסרת משוואה אחת מהשניה.

$$3x-5y=3,4x+2y=6$$

כדי להפוך את ‎3x ו- ‎4x לשווים, הכפל את כל האיברים בכל אגף של המשוואה הראשונה ב- ‎4 ואת כל האיברים בכל אגף של המשוואה השניה ב- ‎3.

$$4\times 3x+4\left(-5\right)y=4\times 3,3\times 4x+3\times 2y=3\times 6$$

פשט.

$$12x-20y=12,12x+6y=18$$

החסר את ‎12x+6y=18 מ- ‎12x-20y=12 על-ידי חיסור איברים דומים בכל אחד מהצדדים של סימן השוויון.

$$12x-12x-20y-6y=12-18$$

הוסף את ‎12x ל- ‎-12x. האיברים ‎12x ו- ‎-12x מבטלים זה את זה, ונותרת משוואה שכוללת משתנה אחד בלבד ושניתן לפתור אותה.

$$-20y-6y=12-18$$

הוסף את ‎-20y ל- ‎-6y.

$$-26y=12-18$$

הוסף את ‎12 ל- ‎-18.

$$-26y=-6$$

חלק את שני האגפים ב- ‎-26.

$$y=\frac{3}{13}$$

השתמש ב- ‎\frac{3}{13} במקום y ב- ‎4x+2y=6. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.

$$4x+2\times \frac{3}{13}=6$$

הכפל את ‎2 ב- ‎\frac{3}{13}.

$$4x+\frac{6}{13}=6$$

החסר ‎\frac{6}{13} משני אגפי המשוואה.

$$4x=\frac{72}{13}$$

חלק את שני האגפים ב- ‎4.

$$x=\frac{18}{13}$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=\frac{18}{13},y=\frac{3}{13}$$