פתור את {l}{3x+y=1}{4x+4y=3}

$$\left. \begin{array} { l } { 3 x + y = 1 } \\ { 4 x + 4 y = 3 } \end{array} \right.$$

פתור עבור x, y

$$x=\frac{1}{8}=0.125$$

$$y=\frac{5}{8}=0.625$$

שלבים הכוללים שימוש בהחלפה

כדי לפתור זוג משוואות באמצעות החלפה, תחילה פתור אחת מהמשוואות עבור אחד מהמשתנים. לאחר מכן החלף את התוצאה עבור משתנה זה במשוואה השניה.

$$3x+y=1,4x+4y=3$$

בחר אחת מהמשוואות ופתור אותה עבור x על-ידי בידוד x בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$3x+y=1$$

החסר ‎y משני אגפי המשוואה.

$$3x=-y+1$$

חלק את שני האגפים ב- ‎3.

$$x=\frac{1}{3}\left(-y+1\right)$$

הכפל את ‎\frac{1}{3} ב- ‎-y+1.

$$x=-\frac{1}{3}y+\frac{1}{3}$$

השתמש ב- ‎\frac{-y+1}{3} במקום ‎x במשוואה השניה, ‎4x+4y=3.

$$4\left(-\frac{1}{3}y+\frac{1}{3}\right)+4y=3$$

הכפל את ‎4 ב- ‎\frac{-y+1}{3}.

$$-\frac{4}{3}y+\frac{4}{3}+4y=3$$

הוסף את ‎-\frac{4y}{3} ל- ‎4y.

$$\frac{8}{3}y+\frac{4}{3}=3$$

החסר ‎\frac{4}{3} משני אגפי המשוואה.

$$\frac{8}{3}y=\frac{5}{3}$$

חלק את שני אגפי המשוואה ב- ‎\frac{8}{3}, פעולה הזהה להכפלת שני האגפים בהופכי של השבר.

$$y=\frac{5}{8}$$

השתמש ב- ‎\frac{5}{8} במקום y ב- ‎x=-\frac{1}{3}y+\frac{1}{3}. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.

$$x=-\frac{1}{3}\times \frac{5}{8}+\frac{1}{3}$$

הכפל את ‎-\frac{1}{3} ב- ‎\frac{5}{8} על-ידי הכפלת המונה במונה והמכנה במכנה. לאחר מכן צמצם את השבר לאיברים הקטנים ביותר אם הדבר אפשרי.

$$x=-\frac{5}{24}+\frac{1}{3}$$

הוסף את ‎\frac{1}{3} ל- ‎-\frac{5}{24} על-ידי מציאת מכנה משותף וחיבור המונים. לאחר מכן צמצם את השבר לאיברים הקטנים ביותר אם הדבר אפשרי.

$$x=\frac{1}{8}$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=\frac{1}{8},y=\frac{5}{8}$$

שלבים הכוללים שימוש במטריצות

העבר את המשוואות לצורה סטנדרטית ולאחר מכן השתמש במטריצות כדי לפתור את מערכת המשוואות.

$$3x+y=1,4x+4y=3$$

כתוב את המשוואות בצורת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}3&1\\4&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\3\end{matrix}\right)$$

הכפל את המשוואה שבצד השמאלי במטריצה ההופכית של \left(\begin{matrix}3&1\\4&4\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&1\\4&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&1\\4&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&1\\4&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\3\end{matrix}\right)$$

המכפלה של מטריצה וההופכי שלה היא מטריצת הזהות.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&1\\4&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\3\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&1\\4&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\3\end{matrix}\right)$$

עבור המטריצה 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), המטריצה ההפוכה היא \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), כדי שניתן יהיה לכתוב מחדש את משוואת המטריצה כבעיית הכפלת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{3\times 4-4}&-\frac{1}{3\times 4-4}\\-\frac{4}{3\times 4-4}&\frac{3}{3\times 4-4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\3\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}&-\frac{1}{8}\\-\frac{1}{2}&\frac{3}{8}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\3\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}-\frac{1}{8}\times 3\\-\frac{1}{2}+\frac{3}{8}\times 3\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{8}\\\frac{5}{8}\end{matrix}\right)$$

חלץ את רכיבי המטריצה x ו- y.

$$x=\frac{1}{8},y=\frac{5}{8}$$

שלבים הכוללים שימוש באלימינציה

כדי לפתור באמצעות אלימינציה, המקדמים של אחד מהמשתנים חייבים להיות זהים בשתי המשוואות כדי שהמשתנה יתבטל בעת החסרת משוואה אחת מהשניה.

$$3x+y=1,4x+4y=3$$

כדי להפוך את ‎3x ו- ‎4x לשווים, הכפל את כל האיברים בכל אגף של המשוואה הראשונה ב- ‎4 ואת כל האיברים בכל אגף של המשוואה השניה ב- ‎3.

$$4\times 3x+4y=4,3\times 4x+3\times 4y=3\times 3$$

פשט.

$$12x+4y=4,12x+12y=9$$

החסר את ‎12x+12y=9 מ- ‎12x+4y=4 על-ידי חיסור איברים דומים בכל אחד מהצדדים של סימן השוויון.

$$12x-12x+4y-12y=4-9$$

הוסף את ‎12x ל- ‎-12x. האיברים ‎12x ו- ‎-12x מבטלים זה את זה, ונותרת משוואה שכוללת משתנה אחד בלבד ושניתן לפתור אותה.

$$4y-12y=4-9$$

הוסף את ‎4y ל- ‎-12y.

$$-8y=4-9$$

הוסף את ‎4 ל- ‎-9.

$$-8y=-5$$

חלק את שני האגפים ב- ‎-8.

$$y=\frac{5}{8}$$

השתמש ב- ‎\frac{5}{8} במקום y ב- ‎4x+4y=3. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.

$$4x+4\times \frac{5}{8}=3$$

הכפל את ‎4 ב- ‎\frac{5}{8}.

$$4x+\frac{5}{2}=3$$

החסר ‎\frac{5}{2} משני אגפי המשוואה.

$$4x=\frac{1}{2}$$

חלק את שני האגפים ב- ‎4.

$$x=\frac{1}{8}$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=\frac{1}{8},y=\frac{5}{8}$$