פתור את {l}{3x+8y=15}{2x-8y=10}

$$\left. \begin{array} { l } { 3 x + 8 y = 15 } \\ { 2 x - 8 y = 10 } \end{array} \right.$$

פתור עבור x, y

$$x=5$$

$$y=0$$

שלבים הכוללים שימוש בהחלפה

כדי לפתור זוג משוואות באמצעות החלפה, תחילה פתור אחת מהמשוואות עבור אחד מהמשתנים. לאחר מכן החלף את התוצאה עבור משתנה זה במשוואה השניה.

$$3x+8y=15,2x-8y=10$$

בחר אחת מהמשוואות ופתור אותה עבור x על-ידי בידוד x בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$3x+8y=15$$

החסר ‎8y משני אגפי המשוואה.

$$3x=-8y+15$$

חלק את שני האגפים ב- ‎3.

$$x=\frac{1}{3}\left(-8y+15\right)$$

הכפל את ‎\frac{1}{3} ב- ‎-8y+15.

$$x=-\frac{8}{3}y+5$$

השתמש ב- ‎-\frac{8y}{3}+5 במקום ‎x במשוואה השניה, ‎2x-8y=10.

$$2\left(-\frac{8}{3}y+5\right)-8y=10$$

הכפל את ‎2 ב- ‎-\frac{8y}{3}+5.

$$-\frac{16}{3}y+10-8y=10$$

הוסף את ‎-\frac{16y}{3} ל- ‎-8y.

$$-\frac{40}{3}y+10=10$$

החסר ‎10 משני אגפי המשוואה.

$$-\frac{40}{3}y=0$$

חלק את שני אגפי המשוואה ב- ‎-\frac{40}{3}, פעולה הזהה להכפלת שני האגפים בהופכי של השבר.

$$y=0$$

השתמש ב- ‎0 במקום y ב- ‎x=-\frac{8}{3}y+5. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.

$$x=5$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=5,y=0$$

שלבים הכוללים שימוש במטריצות

העבר את המשוואות לצורה סטנדרטית ולאחר מכן השתמש במטריצות כדי לפתור את מערכת המשוואות.

$$3x+8y=15,2x-8y=10$$

כתוב את המשוואות בצורת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}3&8\\2&-8\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}15\\10\end{matrix}\right)$$

הכפל את המשוואה שבצד השמאלי במטריצה ההופכית של \left(\begin{matrix}3&8\\2&-8\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&8\\2&-8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&8\\2&-8\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&8\\2&-8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}15\\10\end{matrix}\right)$$

המכפלה של מטריצה וההופכי שלה היא מטריצת הזהות.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&8\\2&-8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}15\\10\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&8\\2&-8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}15\\10\end{matrix}\right)$$

עבור המטריצה 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), המטריצה ההפוכה היא \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), כדי שניתן יהיה לכתוב מחדש את משוואת המטריצה כבעיית הכפלת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{8}{3\left(-8\right)-8\times 2}&-\frac{8}{3\left(-8\right)-8\times 2}\\-\frac{2}{3\left(-8\right)-8\times 2}&\frac{3}{3\left(-8\right)-8\times 2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}15\\10\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{5}&\frac{1}{5}\\\frac{1}{20}&-\frac{3}{40}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}15\\10\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{5}\times 15+\frac{1}{5}\times 10\\\frac{1}{20}\times 15-\frac{3}{40}\times 10\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\0\end{matrix}\right)$$

חלץ את רכיבי המטריצה x ו- y.

$$x=5,y=0$$

שלבים הכוללים שימוש באלימינציה

כדי לפתור באמצעות אלימינציה, המקדמים של אחד מהמשתנים חייבים להיות זהים בשתי המשוואות כדי שהמשתנה יתבטל בעת החסרת משוואה אחת מהשניה.

$$3x+8y=15,2x-8y=10$$

כדי להפוך את ‎3x ו- ‎2x לשווים, הכפל את כל האיברים בכל אגף של המשוואה הראשונה ב- ‎2 ואת כל האיברים בכל אגף של המשוואה השניה ב- ‎3.

$$2\times 3x+2\times 8y=2\times 15,3\times 2x+3\left(-8\right)y=3\times 10$$

פשט.

$$6x+16y=30,6x-24y=30$$

החסר את ‎6x-24y=30 מ- ‎6x+16y=30 על-ידי חיסור איברים דומים בכל אחד מהצדדים של סימן השוויון.

$$6x-6x+16y+24y=30-30$$

הוסף את ‎6x ל- ‎-6x. האיברים ‎6x ו- ‎-6x מבטלים זה את זה, ונותרת משוואה שכוללת משתנה אחד בלבד ושניתן לפתור אותה.

$$16y+24y=30-30$$

הוסף את ‎16y ל- ‎24y.

$$40y=30-30$$

הוסף את ‎30 ל- ‎-30.

$$40y=0$$

חלק את שני האגפים ב- ‎40.

$$y=0$$

השתמש ב- ‎0 במקום y ב- ‎2x-8y=10. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.

$$2x=10$$

חלק את שני האגפים ב- ‎2.

$$x=5$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=5,y=0$$