פתור את {l}{3x+5y=6.5}{2x-2y=-9}

$$\left. \begin{array} { l } { 3 x + 5 y = 6.5 } \\ { 2 x - 2 y = - 9 } \end{array} \right.$$

פתור עבור x, y

$$x=-2$$

$$y=2.5$$

שלבים הכוללים שימוש בהחלפה

כדי לפתור זוג משוואות באמצעות החלפה, תחילה פתור אחת מהמשוואות עבור אחד מהמשתנים. לאחר מכן החלף את התוצאה עבור משתנה זה במשוואה השניה.

$$3x+5y=6.5,2x-2y=-9$$

בחר אחת מהמשוואות ופתור אותה עבור x על-ידי בידוד x בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$3x+5y=6.5$$

החסר ‎5y משני אגפי המשוואה.

$$3x=-5y+6.5$$

חלק את שני האגפים ב- ‎3.

$$x=\frac{1}{3}\left(-5y+6.5\right)$$

הכפל את ‎\frac{1}{3} ב- ‎-5y+6.5.

$$x=-\frac{5}{3}y+\frac{13}{6}$$

השתמש ב- ‎-\frac{5y}{3}+\frac{13}{6} במקום ‎x במשוואה השניה, ‎2x-2y=-9.

$$2\left(-\frac{5}{3}y+\frac{13}{6}\right)-2y=-9$$

הכפל את ‎2 ב- ‎-\frac{5y}{3}+\frac{13}{6}.

$$-\frac{10}{3}y+\frac{13}{3}-2y=-9$$

הוסף את ‎-\frac{10y}{3} ל- ‎-2y.

$$-\frac{16}{3}y+\frac{13}{3}=-9$$

החסר ‎\frac{13}{3} משני אגפי המשוואה.

$$-\frac{16}{3}y=-\frac{40}{3}$$

חלק את שני אגפי המשוואה ב- ‎-\frac{16}{3}, פעולה הזהה להכפלת שני האגפים בהופכי של השבר.

$$y=\frac{5}{2}$$

השתמש ב- ‎\frac{5}{2} במקום y ב- ‎x=-\frac{5}{3}y+\frac{13}{6}. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.

$$x=-\frac{5}{3}\times \frac{5}{2}+\frac{13}{6}$$

הכפל את ‎-\frac{5}{3} ב- ‎\frac{5}{2} על-ידי הכפלת המונה במונה והמכנה במכנה. לאחר מכן צמצם את השבר לאיברים הקטנים ביותר אם הדבר אפשרי.

$$x=\frac{-25+13}{6}$$

הוסף את ‎\frac{13}{6} ל- ‎-\frac{25}{6} על-ידי מציאת מכנה משותף וחיבור המונים. לאחר מכן צמצם את השבר לאיברים הקטנים ביותר אם הדבר אפשרי.

$$x=-2$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=-2,y=\frac{5}{2}$$

שלבים הכוללים שימוש במטריצות

העבר את המשוואות לצורה סטנדרטית ולאחר מכן השתמש במטריצות כדי לפתור את מערכת המשוואות.

$$3x+5y=6.5,2x-2y=-9$$

כתוב את המשוואות בצורת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}3&5\\2&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}6.5\\-9\end{matrix}\right)$$

הכפל את המשוואה שבצד השמאלי במטריצה ההופכית של \left(\begin{matrix}3&5\\2&-2\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&5\\2&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&5\\2&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&5\\2&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6.5\\-9\end{matrix}\right)$$

המכפלה של מטריצה וההופכי שלה היא מטריצת הזהות.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&5\\2&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6.5\\-9\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&5\\2&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6.5\\-9\end{matrix}\right)$$

עבור המטריצה 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), המטריצה ההפוכה היא \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), כדי שניתן יהיה לכתוב מחדש את משוואת המטריצה כבעיית הכפלת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{3\left(-2\right)-5\times 2}&-\frac{5}{3\left(-2\right)-5\times 2}\\-\frac{2}{3\left(-2\right)-5\times 2}&\frac{3}{3\left(-2\right)-5\times 2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}6.5\\-9\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{8}&\frac{5}{16}\\\frac{1}{8}&-\frac{3}{16}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}6.5\\-9\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{8}\times 6.5+\frac{5}{16}\left(-9\right)\\\frac{1}{8}\times 6.5-\frac{3}{16}\left(-9\right)\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-2\\\frac{5}{2}\end{matrix}\right)$$

חלץ את רכיבי המטריצה x ו- y.

$$x=-2,y=\frac{5}{2}$$

שלבים הכוללים שימוש באלימינציה

כדי לפתור באמצעות אלימינציה, המקדמים של אחד מהמשתנים חייבים להיות זהים בשתי המשוואות כדי שהמשתנה יתבטל בעת החסרת משוואה אחת מהשניה.

$$3x+5y=6.5,2x-2y=-9$$

כדי להפוך את ‎3x ו- ‎2x לשווים, הכפל את כל האיברים בכל אגף של המשוואה הראשונה ב- ‎2 ואת כל האיברים בכל אגף של המשוואה השניה ב- ‎3.

$$2\times 3x+2\times 5y=2\times 6.5,3\times 2x+3\left(-2\right)y=3\left(-9\right)$$

פשט.

$$6x+10y=13,6x-6y=-27$$

החסר את ‎6x-6y=-27 מ- ‎6x+10y=13 על-ידי חיסור איברים דומים בכל אחד מהצדדים של סימן השוויון.

$$6x-6x+10y+6y=13+27$$

הוסף את ‎6x ל- ‎-6x. האיברים ‎6x ו- ‎-6x מבטלים זה את זה, ונותרת משוואה שכוללת משתנה אחד בלבד ושניתן לפתור אותה.

$$10y+6y=13+27$$

הוסף את ‎10y ל- ‎6y.

$$16y=13+27$$

הוסף את ‎13 ל- ‎27.

$$16y=40$$

חלק את שני האגפים ב- ‎16.

$$y=\frac{5}{2}$$

השתמש ב- ‎\frac{5}{2} במקום y ב- ‎2x-2y=-9. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.

$$2x-2\times \frac{5}{2}=-9$$

הכפל את ‎-2 ב- ‎\frac{5}{2}.

$$2x-5=-9$$

הוסף ‎5 לשני אגפי המשוואה.

$$2x=-4$$

חלק את שני האגפים ב- ‎2.

$$x=-2$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=-2,y=\frac{5}{2}$$