פתור את {l}{3x+2y-5=0}{x=y+10}

$$\left. \begin{array} { l } { 3 x + 2 y - 5 = 0 } \\ { x = y + 10 } \end{array} \right.$$

פתור עבור x, y

$$x=5$$

$$y=-5$$

שלבים הכוללים שימוש בהחלפה

שקול את המשוואה הראשונה. הוסף ‎5 משני הצדדים. כל מספר ועוד אפס שווה לעצמו.

$$3x+2y=5$$

שקול את המשוואה השניה. החסר ‎y משני האגפים.

$$x-y=10$$

כדי לפתור זוג משוואות באמצעות החלפה, תחילה פתור אחת מהמשוואות עבור אחד מהמשתנים. לאחר מכן החלף את התוצאה עבור משתנה זה במשוואה השניה.

$$3x+2y=5,x-y=10$$

בחר אחת מהמשוואות ופתור אותה עבור x על-ידי בידוד x בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$3x+2y=5$$

החסר ‎2y משני אגפי המשוואה.

$$3x=-2y+5$$

חלק את שני האגפים ב- ‎3.

$$x=\frac{1}{3}\left(-2y+5\right)$$

הכפל את ‎\frac{1}{3} ב- ‎-2y+5.

$$x=-\frac{2}{3}y+\frac{5}{3}$$

השתמש ב- ‎\frac{-2y+5}{3} במקום ‎x במשוואה השניה, ‎x-y=10.

$$-\frac{2}{3}y+\frac{5}{3}-y=10$$

הוסף את ‎-\frac{2y}{3} ל- ‎-y.

$$-\frac{5}{3}y+\frac{5}{3}=10$$

החסר ‎\frac{5}{3} משני אגפי המשוואה.

$$-\frac{5}{3}y=\frac{25}{3}$$

חלק את שני אגפי המשוואה ב- ‎-\frac{5}{3}, פעולה הזהה להכפלת שני האגפים בהופכי של השבר.

$$y=-5$$

השתמש ב- ‎-5 במקום y ב- ‎x=-\frac{2}{3}y+\frac{5}{3}. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.

$$x=-\frac{2}{3}\left(-5\right)+\frac{5}{3}$$

הכפל את ‎-\frac{2}{3} ב- ‎-5.

$$x=\frac{10+5}{3}$$

הוסף את ‎\frac{5}{3} ל- ‎\frac{10}{3} על-ידי מציאת מכנה משותף וחיבור המונים. לאחר מכן צמצם את השבר לאיברים הקטנים ביותר אם הדבר אפשרי.

$$x=5$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=5,y=-5$$

שלבים הכוללים שימוש במטריצות

שקול את המשוואה הראשונה. הוסף ‎5 משני הצדדים. כל מספר ועוד אפס שווה לעצמו.

$$3x+2y=5$$

שקול את המשוואה השניה. החסר ‎y משני האגפים.

$$x-y=10$$

העבר את המשוואות לצורה סטנדרטית ולאחר מכן השתמש במטריצות כדי לפתור את מערכת המשוואות.

$$3x+2y=5,x-y=10$$

כתוב את המשוואות בצורת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}3&2\\1&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\10\end{matrix}\right)$$

הכפל את המשוואה שבצד השמאלי במטריצה ההופכית של \left(\begin{matrix}3&2\\1&-1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&2\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&2\\1&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&2\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\10\end{matrix}\right)$$

המכפלה של מטריצה וההופכי שלה היא מטריצת הזהות.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&2\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\10\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&2\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\10\end{matrix}\right)$$

עבור המטריצה 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), המטריצה ההפוכה היא \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), כדי שניתן יהיה לכתוב מחדש את משוואת המטריצה כבעיית הכפלת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{3\left(-1\right)-2}&-\frac{2}{3\left(-1\right)-2}\\-\frac{1}{3\left(-1\right)-2}&\frac{3}{3\left(-1\right)-2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\10\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{5}&\frac{2}{5}\\\frac{1}{5}&-\frac{3}{5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\10\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{5}\times 5+\frac{2}{5}\times 10\\\frac{1}{5}\times 5-\frac{3}{5}\times 10\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\-5\end{matrix}\right)$$

חלץ את רכיבי המטריצה x ו- y.

$$x=5,y=-5$$

שלבים הכוללים שימוש באלימינציה

שקול את המשוואה הראשונה. הוסף ‎5 משני הצדדים. כל מספר ועוד אפס שווה לעצמו.

$$3x+2y=5$$

שקול את המשוואה השניה. החסר ‎y משני האגפים.

$$x-y=10$$

כדי לפתור באמצעות אלימינציה, המקדמים של אחד מהמשתנים חייבים להיות זהים בשתי המשוואות כדי שהמשתנה יתבטל בעת החסרת משוואה אחת מהשניה.

$$3x+2y=5,x-y=10$$

כדי להפוך את ‎3x ו- ‎x לשווים, הכפל את כל האיברים בכל אגף של המשוואה הראשונה ב- ‎1 ואת כל האיברים בכל אגף של המשוואה השניה ב- ‎3.

$$3x+2y=5,3x+3\left(-1\right)y=3\times 10$$

פשט.

$$3x+2y=5,3x-3y=30$$

החסר את ‎3x-3y=30 מ- ‎3x+2y=5 על-ידי חיסור איברים דומים בכל אחד מהצדדים של סימן השוויון.

$$3x-3x+2y+3y=5-30$$

הוסף את ‎3x ל- ‎-3x. האיברים ‎3x ו- ‎-3x מבטלים זה את זה, ונותרת משוואה שכוללת משתנה אחד בלבד ושניתן לפתור אותה.

$$2y+3y=5-30$$

הוסף את ‎2y ל- ‎3y.

$$5y=5-30$$

הוסף את ‎5 ל- ‎-30.

$$5y=-25$$

חלק את שני האגפים ב- ‎5.

$$y=-5$$

השתמש ב- ‎-5 במקום y ב- ‎x-y=10. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.

$$x-\left(-5\right)=10$$

החסר ‎5 משני אגפי המשוואה.

$$x=5$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=5,y=-5$$