פתור את {l}{3*a+c=5}{a-c=7}

$$\left. \begin{array} { l } { 3 \cdot a + c = 5 } \\ { a - c = 7 } \end{array} \right.$$

פתור עבור a, c

$$a=3$$

$$c=-4$$

שלבים הכוללים שימוש בהחלפה

כדי לפתור זוג משוואות באמצעות החלפה, תחילה פתור אחת מהמשוואות עבור אחד מהמשתנים. לאחר מכן החלף את התוצאה עבור משתנה זה במשוואה השניה.

$$3a+c=5,a-c=7$$

בחר אחת מהמשוואות ופתור אותה עבור a על-ידי בידוד a בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$3a+c=5$$

החסר ‎c משני אגפי המשוואה.

$$3a=-c+5$$

חלק את שני האגפים ב- ‎3.

$$a=\frac{1}{3}\left(-c+5\right)$$

הכפל את ‎\frac{1}{3} ב- ‎-c+5.

$$a=-\frac{1}{3}c+\frac{5}{3}$$

השתמש ב- ‎\frac{-c+5}{3} במקום ‎a במשוואה השניה, ‎a-c=7.

$$-\frac{1}{3}c+\frac{5}{3}-c=7$$

הוסף את ‎-\frac{c}{3} ל- ‎-c.

$$-\frac{4}{3}c+\frac{5}{3}=7$$

החסר ‎\frac{5}{3} משני אגפי המשוואה.

$$-\frac{4}{3}c=\frac{16}{3}$$

חלק את שני אגפי המשוואה ב- ‎-\frac{4}{3}, פעולה הזהה להכפלת שני האגפים בהופכי של השבר.

$$c=-4$$

השתמש ב- ‎-4 במקום c ב- ‎a=-\frac{1}{3}c+\frac{5}{3}. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את a ישירות.

$$a=-\frac{1}{3}\left(-4\right)+\frac{5}{3}$$

הכפל את ‎-\frac{1}{3} ב- ‎-4.

$$a=\frac{4+5}{3}$$

הוסף את ‎\frac{5}{3} ל- ‎\frac{4}{3} על-ידי מציאת מכנה משותף וחיבור המונים. לאחר מכן צמצם את השבר לאיברים הקטנים ביותר אם הדבר אפשרי.

$$a=3$$

המערכת נפתרה כעת.

$$a=3,c=-4$$

שלבים הכוללים שימוש במטריצות

העבר את המשוואות לצורה סטנדרטית ולאחר מכן השתמש במטריצות כדי לפתור את מערכת המשוואות.

$$3a+c=5,a-c=7$$

כתוב את המשוואות בצורת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}3&1\\1&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\c\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\7\end{matrix}\right)$$

הכפל את המשוואה שבצד השמאלי במטריצה ההופכית של \left(\begin{matrix}3&1\\1&-1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&1\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&1\\1&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\c\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&1\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\7\end{matrix}\right)$$

המכפלה של מטריצה וההופכי שלה היא מטריצת הזהות.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\c\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&1\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\7\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$\left(\begin{matrix}a\\c\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&1\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\7\end{matrix}\right)$$

עבור המטריצה 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), המטריצה ההפוכה היא \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), כדי שניתן יהיה לכתוב מחדש את משוואת המטריצה כבעיית הכפלת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}a\\c\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{3\left(-1\right)-1}&-\frac{1}{3\left(-1\right)-1}\\-\frac{1}{3\left(-1\right)-1}&\frac{3}{3\left(-1\right)-1}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\7\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}a\\c\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{4}&\frac{1}{4}\\\frac{1}{4}&-\frac{3}{4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\7\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות.

$$\left(\begin{matrix}a\\c\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{4}\times 5+\frac{1}{4}\times 7\\\frac{1}{4}\times 5-\frac{3}{4}\times 7\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}a\\c\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3\\-4\end{matrix}\right)$$

חלץ את רכיבי המטריצה a ו- c.

$$a=3,c=-4$$

שלבים הכוללים שימוש באלימינציה

כדי לפתור באמצעות אלימינציה, המקדמים של אחד מהמשתנים חייבים להיות זהים בשתי המשוואות כדי שהמשתנה יתבטל בעת החסרת משוואה אחת מהשניה.

$$3a+c=5,a-c=7$$

כדי להפוך את ‎3a ו- ‎a לשווים, הכפל את כל האיברים בכל אגף של המשוואה הראשונה ב- ‎1 ואת כל האיברים בכל אגף של המשוואה השניה ב- ‎3.

$$3a+c=5,3a+3\left(-1\right)c=3\times 7$$

פשט.

$$3a+c=5,3a-3c=21$$

החסר את ‎3a-3c=21 מ- ‎3a+c=5 על-ידי חיסור איברים דומים בכל אחד מהצדדים של סימן השוויון.

$$3a-3a+c+3c=5-21$$

הוסף את ‎3a ל- ‎-3a. האיברים ‎3a ו- ‎-3a מבטלים זה את זה, ונותרת משוואה שכוללת משתנה אחד בלבד ושניתן לפתור אותה.

$$c+3c=5-21$$

הוסף את ‎c ל- ‎3c.

$$4c=5-21$$

הוסף את ‎5 ל- ‎-21.

$$4c=-16$$

חלק את שני האגפים ב- ‎4.

$$c=-4$$

השתמש ב- ‎-4 במקום c ב- ‎a-c=7. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את a ישירות.

$$a-\left(-4\right)=7$$

החסר ‎4 משני אגפי המשוואה.

$$a=3$$

המערכת נפתרה כעת.

$$a=3,c=-4$$