פתור את {l}{25x+16y=72}{-5x+4y=0}

$$\left. \begin{array} { l } { 25 x + 16 y = 72 } \\ { - 5 x + 4 y = 0 } \end{array} \right.$$

פתור עבור x, y

$$x = \frac{8}{5} = 1\frac{3}{5} = 1.6$$

$$y=2$$

שלבים הכוללים שימוש בהחלפה

כדי לפתור זוג משוואות באמצעות החלפה, תחילה פתור אחת מהמשוואות עבור אחד מהמשתנים. לאחר מכן החלף את התוצאה עבור משתנה זה במשוואה השניה.

$$25x+16y=72,-5x+4y=0$$

בחר אחת מהמשוואות ופתור אותה עבור x על-ידי בידוד x בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$25x+16y=72$$

החסר ‎16y משני אגפי המשוואה.

$$25x=-16y+72$$

חלק את שני האגפים ב- ‎25.

$$x=\frac{1}{25}\left(-16y+72\right)$$

הכפל את ‎\frac{1}{25} ב- ‎-16y+72.

$$x=-\frac{16}{25}y+\frac{72}{25}$$

השתמש ב- ‎\frac{-16y+72}{25} במקום ‎x במשוואה השניה, ‎-5x+4y=0.

$$-5\left(-\frac{16}{25}y+\frac{72}{25}\right)+4y=0$$

הכפל את ‎-5 ב- ‎\frac{-16y+72}{25}.

$$\frac{16}{5}y-\frac{72}{5}+4y=0$$

הוסף את ‎\frac{16y}{5} ל- ‎4y.

$$\frac{36}{5}y-\frac{72}{5}=0$$

הוסף ‎\frac{72}{5} לשני אגפי המשוואה.

$$\frac{36}{5}y=\frac{72}{5}$$

חלק את שני אגפי המשוואה ב- ‎\frac{36}{5}, פעולה הזהה להכפלת שני האגפים בהופכי של השבר.

$$y=2$$

השתמש ב- ‎2 במקום y ב- ‎x=-\frac{16}{25}y+\frac{72}{25}. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.

$$x=-\frac{16}{25}\times 2+\frac{72}{25}$$

הכפל את ‎-\frac{16}{25} ב- ‎2.

$$x=\frac{-32+72}{25}$$

הוסף את ‎\frac{72}{25} ל- ‎-\frac{32}{25} על-ידי מציאת מכנה משותף וחיבור המונים. לאחר מכן צמצם את השבר לאיברים הקטנים ביותר אם הדבר אפשרי.

$$x=\frac{8}{5}$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=\frac{8}{5},y=2$$

שלבים הכוללים שימוש במטריצות

העבר את המשוואות לצורה סטנדרטית ולאחר מכן השתמש במטריצות כדי לפתור את מערכת המשוואות.

$$25x+16y=72,-5x+4y=0$$

כתוב את המשוואות בצורת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}25&16\\-5&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}72\\0\end{matrix}\right)$$

הכפל את המשוואה שבצד השמאלי במטריצה ההופכית של \left(\begin{matrix}25&16\\-5&4\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}25&16\\-5&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}25&16\\-5&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}25&16\\-5&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}72\\0\end{matrix}\right)$$

המכפלה של מטריצה וההופכי שלה היא מטריצת הזהות.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}25&16\\-5&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}72\\0\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}25&16\\-5&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}72\\0\end{matrix}\right)$$

עבור המטריצה 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), המטריצה ההפוכה היא \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), כדי שניתן יהיה לכתוב מחדש את משוואת המטריצה כבעיית הכפלת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{25\times 4-16\left(-5\right)}&-\frac{16}{25\times 4-16\left(-5\right)}\\-\frac{-5}{25\times 4-16\left(-5\right)}&\frac{25}{25\times 4-16\left(-5\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}72\\0\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{45}&-\frac{4}{45}\\\frac{1}{36}&\frac{5}{36}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}72\\0\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{45}\times 72\\\frac{1}{36}\times 72\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{8}{5}\\2\end{matrix}\right)$$

חלץ את רכיבי המטריצה x ו- y.

$$x=\frac{8}{5},y=2$$

שלבים הכוללים שימוש באלימינציה

כדי לפתור באמצעות אלימינציה, המקדמים של אחד מהמשתנים חייבים להיות זהים בשתי המשוואות כדי שהמשתנה יתבטל בעת החסרת משוואה אחת מהשניה.

$$25x+16y=72,-5x+4y=0$$

כדי להפוך את ‎25x ו- ‎-5x לשווים, הכפל את כל האיברים בכל אגף של המשוואה הראשונה ב- ‎-5 ואת כל האיברים בכל אגף של המשוואה השניה ב- ‎25.

$$-5\times 25x-5\times 16y=-5\times 72,25\left(-5\right)x+25\times 4y=0$$

פשט.

$$-125x-80y=-360,-125x+100y=0$$

החסר את ‎-125x+100y=0 מ- ‎-125x-80y=-360 על-ידי חיסור איברים דומים בכל אחד מהצדדים של סימן השוויון.

$$-125x+125x-80y-100y=-360$$

הוסף את ‎-125x ל- ‎125x. האיברים ‎-125x ו- ‎125x מבטלים זה את זה, ונותרת משוואה שכוללת משתנה אחד בלבד ושניתן לפתור אותה.

$$-80y-100y=-360$$

הוסף את ‎-80y ל- ‎-100y.

$$-180y=-360$$

חלק את שני האגפים ב- ‎-180.

$$y=2$$

השתמש ב- ‎2 במקום y ב- ‎-5x+4y=0. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.

$$-5x+4\times 2=0$$

הכפל את ‎4 ב- ‎2.

$$-5x+8=0$$

החסר ‎8 משני אגפי המשוואה.

$$-5x=-8$$

חלק את שני האגפים ב- ‎-5.

$$x=\frac{8}{5}$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=\frac{8}{5},y=2$$