פתור את {l}{20a+3b=41}{15a+7b=45}

$$\left. \begin{array} { l } { 20 a + 3 b = 41 } \\ { 15 a + 7 b = 45 } \end{array} \right.$$

פתור עבור a, b

$$a = \frac{8}{5} = 1\frac{3}{5} = 1.6$$

$$b=3$$

שלבים הכוללים שימוש בהחלפה

כדי לפתור זוג משוואות באמצעות החלפה, תחילה פתור אחת מהמשוואות עבור אחד מהמשתנים. לאחר מכן החלף את התוצאה עבור משתנה זה במשוואה השניה.

$$20a+3b=41,15a+7b=45$$

בחר אחת מהמשוואות ופתור אותה עבור a על-ידי בידוד a בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$20a+3b=41$$

החסר ‎3b משני אגפי המשוואה.

$$20a=-3b+41$$

חלק את שני האגפים ב- ‎20.

$$a=\frac{1}{20}\left(-3b+41\right)$$

הכפל את ‎\frac{1}{20} ב- ‎-3b+41.

$$a=-\frac{3}{20}b+\frac{41}{20}$$

השתמש ב- ‎\frac{-3b+41}{20} במקום ‎a במשוואה השניה, ‎15a+7b=45.

$$15\left(-\frac{3}{20}b+\frac{41}{20}\right)+7b=45$$

הכפל את ‎15 ב- ‎\frac{-3b+41}{20}.

$$-\frac{9}{4}b+\frac{123}{4}+7b=45$$

הוסף את ‎-\frac{9b}{4} ל- ‎7b.

$$\frac{19}{4}b+\frac{123}{4}=45$$

החסר ‎\frac{123}{4} משני אגפי המשוואה.

$$\frac{19}{4}b=\frac{57}{4}$$

חלק את שני אגפי המשוואה ב- ‎\frac{19}{4}, פעולה הזהה להכפלת שני האגפים בהופכי של השבר.

$$b=3$$

השתמש ב- ‎3 במקום b ב- ‎a=-\frac{3}{20}b+\frac{41}{20}. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את a ישירות.

$$a=-\frac{3}{20}\times 3+\frac{41}{20}$$

הכפל את ‎-\frac{3}{20} ב- ‎3.

$$a=\frac{-9+41}{20}$$

הוסף את ‎\frac{41}{20} ל- ‎-\frac{9}{20} על-ידי מציאת מכנה משותף וחיבור המונים. לאחר מכן צמצם את השבר לאיברים הקטנים ביותר אם הדבר אפשרי.

$$a=\frac{8}{5}$$

המערכת נפתרה כעת.

$$a=\frac{8}{5},b=3$$

שלבים הכוללים שימוש במטריצות

העבר את המשוואות לצורה סטנדרטית ולאחר מכן השתמש במטריצות כדי לפתור את מערכת המשוואות.

$$20a+3b=41,15a+7b=45$$

כתוב את המשוואות בצורת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}20&3\\15&7\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}41\\45\end{matrix}\right)$$

הכפל את המשוואה שבצד השמאלי במטריצה ההופכית של \left(\begin{matrix}20&3\\15&7\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}20&3\\15&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}20&3\\15&7\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}20&3\\15&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}41\\45\end{matrix}\right)$$

המכפלה של מטריצה וההופכי שלה היא מטריצת הזהות.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}20&3\\15&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}41\\45\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}20&3\\15&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}41\\45\end{matrix}\right)$$

עבור המטריצה 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), המטריצה ההפוכה היא \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), כדי שניתן יהיה לכתוב מחדש את משוואת המטריצה כבעיית הכפלת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{20\times 7-3\times 15}&-\frac{3}{20\times 7-3\times 15}\\-\frac{15}{20\times 7-3\times 15}&\frac{20}{20\times 7-3\times 15}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}41\\45\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{95}&-\frac{3}{95}\\-\frac{3}{19}&\frac{4}{19}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}41\\45\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{95}\times 41-\frac{3}{95}\times 45\\-\frac{3}{19}\times 41+\frac{4}{19}\times 45\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{8}{5}\\3\end{matrix}\right)$$

חלץ את רכיבי המטריצה a ו- b.

$$a=\frac{8}{5},b=3$$

שלבים הכוללים שימוש באלימינציה

כדי לפתור באמצעות אלימינציה, המקדמים של אחד מהמשתנים חייבים להיות זהים בשתי המשוואות כדי שהמשתנה יתבטל בעת החסרת משוואה אחת מהשניה.

$$20a+3b=41,15a+7b=45$$

כדי להפוך את ‎20a ו- ‎15a לשווים, הכפל את כל האיברים בכל אגף של המשוואה הראשונה ב- ‎15 ואת כל האיברים בכל אגף של המשוואה השניה ב- ‎20.

$$15\times 20a+15\times 3b=15\times 41,20\times 15a+20\times 7b=20\times 45$$

פשט.

$$300a+45b=615,300a+140b=900$$

החסר את ‎300a+140b=900 מ- ‎300a+45b=615 על-ידי חיסור איברים דומים בכל אחד מהצדדים של סימן השוויון.

$$300a-300a+45b-140b=615-900$$

הוסף את ‎300a ל- ‎-300a. האיברים ‎300a ו- ‎-300a מבטלים זה את זה, ונותרת משוואה שכוללת משתנה אחד בלבד ושניתן לפתור אותה.

$$45b-140b=615-900$$

הוסף את ‎45b ל- ‎-140b.

$$-95b=615-900$$

הוסף את ‎615 ל- ‎-900.

$$-95b=-285$$

חלק את שני האגפים ב- ‎-95.

$$b=3$$

השתמש ב- ‎3 במקום b ב- ‎15a+7b=45. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את a ישירות.

$$15a+7\times 3=45$$

הכפל את ‎7 ב- ‎3.

$$15a+21=45$$

החסר ‎21 משני אגפי המשוואה.

$$15a=24$$

חלק את שני האגפים ב- ‎15.

$$a=\frac{8}{5}$$

המערכת נפתרה כעת.

$$a=\frac{8}{5},b=3$$