פתור את {l}{2x-4y=10}{6x-4y=11}

$$\left. \begin{array} { l } { 2 x - 4 y = 10 } \\ { 6 x - 4 y = 11 } \end{array} \right.$$

פתור עבור x, y

$$x=\frac{1}{4}=0.25$$

$$y = -\frac{19}{8} = -2\frac{3}{8} = -2.375$$

שלבים הכוללים שימוש בהחלפה

כדי לפתור זוג משוואות באמצעות החלפה, תחילה פתור אחת מהמשוואות עבור אחד מהמשתנים. לאחר מכן החלף את התוצאה עבור משתנה זה במשוואה השניה.

$$2x-4y=10,6x-4y=11$$

בחר אחת מהמשוואות ופתור אותה עבור x על-ידי בידוד x בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$2x-4y=10$$

הוסף ‎4y לשני אגפי המשוואה.

$$2x=4y+10$$

חלק את שני האגפים ב- ‎2.

$$x=\frac{1}{2}\left(4y+10\right)$$

הכפל את ‎\frac{1}{2} ב- ‎4y+10.

$$x=2y+5$$

השתמש ב- ‎2y+5 במקום ‎x במשוואה השניה, ‎6x-4y=11.

$$6\left(2y+5\right)-4y=11$$

הכפל את ‎6 ב- ‎2y+5.

$$12y+30-4y=11$$

הוסף את ‎12y ל- ‎-4y.

$$8y+30=11$$

החסר ‎30 משני אגפי המשוואה.

$$8y=-19$$

חלק את שני האגפים ב- ‎8.

$$y=-\frac{19}{8}$$

השתמש ב- ‎-\frac{19}{8} במקום y ב- ‎x=2y+5. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.

$$x=2\left(-\frac{19}{8}\right)+5$$

הכפל את ‎2 ב- ‎-\frac{19}{8}.

$$x=-\frac{19}{4}+5$$

הוסף את ‎5 ל- ‎-\frac{19}{4}.

$$x=\frac{1}{4}$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=\frac{1}{4},y=-\frac{19}{8}$$

שלבים הכוללים שימוש במטריצות

העבר את המשוואות לצורה סטנדרטית ולאחר מכן השתמש במטריצות כדי לפתור את מערכת המשוואות.

$$2x-4y=10,6x-4y=11$$

כתוב את המשוואות בצורת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}2&-4\\6&-4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}10\\11\end{matrix}\right)$$

הכפל את המשוואה שבצד השמאלי במטריצה ההופכית של \left(\begin{matrix}2&-4\\6&-4\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&-4\\6&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&-4\\6&-4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-4\\6&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\11\end{matrix}\right)$$

המכפלה של מטריצה וההופכי שלה היא מטריצת הזהות.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-4\\6&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\11\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-4\\6&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\11\end{matrix}\right)$$

עבור המטריצה 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), המטריצה ההפוכה היא \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), כדי שניתן יהיה לכתוב מחדש את משוואת המטריצה כבעיית הכפלת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{4}{2\left(-4\right)-\left(-4\times 6\right)}&-\frac{-4}{2\left(-4\right)-\left(-4\times 6\right)}\\-\frac{6}{2\left(-4\right)-\left(-4\times 6\right)}&\frac{2}{2\left(-4\right)-\left(-4\times 6\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}10\\11\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{4}&\frac{1}{4}\\-\frac{3}{8}&\frac{1}{8}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}10\\11\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{4}\times 10+\frac{1}{4}\times 11\\-\frac{3}{8}\times 10+\frac{1}{8}\times 11\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{4}\\-\frac{19}{8}\end{matrix}\right)$$

חלץ את רכיבי המטריצה x ו- y.

$$x=\frac{1}{4},y=-\frac{19}{8}$$

שלבים הכוללים שימוש באלימינציה

כדי לפתור באמצעות אלימינציה, המקדמים של אחד מהמשתנים חייבים להיות זהים בשתי המשוואות כדי שהמשתנה יתבטל בעת החסרת משוואה אחת מהשניה.

$$2x-4y=10,6x-4y=11$$

החסר את ‎6x-4y=11 מ- ‎2x-4y=10 על-ידי חיסור איברים דומים בכל אחד מהצדדים של סימן השוויון.

$$2x-6x-4y+4y=10-11$$

הוסף את ‎-4y ל- ‎4y. האיברים ‎-4y ו- ‎4y מבטלים זה את זה, ונותרת משוואה שכוללת משתנה אחד בלבד ושניתן לפתור אותה.

$$2x-6x=10-11$$

הוסף את ‎2x ל- ‎-6x.

$$-4x=10-11$$

הוסף את ‎10 ל- ‎-11.

$$-4x=-1$$

חלק את שני האגפים ב- ‎-4.

$$x=\frac{1}{4}$$

השתמש ב- ‎\frac{1}{4} במקום x ב- ‎6x-4y=11. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את y ישירות.

$$6\times \frac{1}{4}-4y=11$$

הכפל את ‎6 ב- ‎\frac{1}{4}.

$$\frac{3}{2}-4y=11$$

החסר ‎\frac{3}{2} משני אגפי המשוואה.

$$-4y=\frac{19}{2}$$

חלק את שני האגפים ב- ‎-4.

$$y=-\frac{19}{8}$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=\frac{1}{4},y=-\frac{19}{8}$$