פתור את {l}{2x-3y+13=0}{3x-2y+12=0}

$$\left. \begin{array} { l } { 2 x - 3 y + 13 = 0 } \\ { 3 x - 2 y + 12 = 0 } \end{array} \right.$$

פתור עבור x, y

$$x=-2$$

$$y=3$$

שלבים הכוללים שימוש בהחלפה

כדי לפתור זוג משוואות באמצעות החלפה, תחילה פתור אחת מהמשוואות עבור אחד מהמשתנים. לאחר מכן החלף את התוצאה עבור משתנה זה במשוואה השניה.

$$2x-3y+13=0,3x-2y+12=0$$

בחר אחת מהמשוואות ופתור אותה עבור x על-ידי בידוד x בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$2x-3y+13=0$$

החסר ‎13 משני אגפי המשוואה.

$$2x-3y=-13$$

הוסף ‎3y לשני אגפי המשוואה.

$$2x=3y-13$$

חלק את שני האגפים ב- ‎2.

$$x=\frac{1}{2}\left(3y-13\right)$$

הכפל את ‎\frac{1}{2} ב- ‎3y-13.

$$x=\frac{3}{2}y-\frac{13}{2}$$

השתמש ב- ‎\frac{3y-13}{2} במקום ‎x במשוואה השניה, ‎3x-2y+12=0.

$$3\left(\frac{3}{2}y-\frac{13}{2}\right)-2y+12=0$$

הכפל את ‎3 ב- ‎\frac{3y-13}{2}.

$$\frac{9}{2}y-\frac{39}{2}-2y+12=0$$

הוסף את ‎\frac{9y}{2} ל- ‎-2y.

$$\frac{5}{2}y-\frac{39}{2}+12=0$$

הוסף את ‎-\frac{39}{2} ל- ‎12.

$$\frac{5}{2}y-\frac{15}{2}=0$$

הוסף ‎\frac{15}{2} לשני אגפי המשוואה.

$$\frac{5}{2}y=\frac{15}{2}$$

חלק את שני אגפי המשוואה ב- ‎\frac{5}{2}, פעולה הזהה להכפלת שני האגפים בהופכי של השבר.

$$y=3$$

השתמש ב- ‎3 במקום y ב- ‎x=\frac{3}{2}y-\frac{13}{2}. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.

$$x=\frac{3}{2}\times 3-\frac{13}{2}$$

הכפל את ‎\frac{3}{2} ב- ‎3.

$$x=\frac{9-13}{2}$$

הוסף את ‎-\frac{13}{2} ל- ‎\frac{9}{2} על-ידי מציאת מכנה משותף וחיבור המונים. לאחר מכן צמצם את השבר לאיברים הקטנים ביותר אם הדבר אפשרי.

$$x=-2$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=-2,y=3$$

שלבים הכוללים שימוש במטריצות

העבר את המשוואות לצורה סטנדרטית ולאחר מכן השתמש במטריצות כדי לפתור את מערכת המשוואות.

$$2x-3y+13=0,3x-2y+12=0$$

כתוב את המשוואות בצורת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}2&-3\\3&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-13\\-12\end{matrix}\right)$$

הכפל את המשוואה שבצד השמאלי במטריצה ההופכית של \left(\begin{matrix}2&-3\\3&-2\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\3&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&-3\\3&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\3&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-13\\-12\end{matrix}\right)$$

המכפלה של מטריצה וההופכי שלה היא מטריצת הזהות.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\3&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-13\\-12\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\3&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-13\\-12\end{matrix}\right)$$

עבור המטריצה 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), המטריצה ההפוכה היא \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), כדי שניתן יהיה לכתוב מחדש את משוואת המטריצה כבעיית הכפלת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{2\left(-2\right)-\left(-3\times 3\right)}&-\frac{-3}{2\left(-2\right)-\left(-3\times 3\right)}\\-\frac{3}{2\left(-2\right)-\left(-3\times 3\right)}&\frac{2}{2\left(-2\right)-\left(-3\times 3\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-13\\-12\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{5}&\frac{3}{5}\\-\frac{3}{5}&\frac{2}{5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-13\\-12\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{5}\left(-13\right)+\frac{3}{5}\left(-12\right)\\-\frac{3}{5}\left(-13\right)+\frac{2}{5}\left(-12\right)\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-2\\3\end{matrix}\right)$$

חלץ את רכיבי המטריצה x ו- y.

$$x=-2,y=3$$

שלבים הכוללים שימוש באלימינציה

כדי לפתור באמצעות אלימינציה, המקדמים של אחד מהמשתנים חייבים להיות זהים בשתי המשוואות כדי שהמשתנה יתבטל בעת החסרת משוואה אחת מהשניה.

$$2x-3y+13=0,3x-2y+12=0$$

כדי להפוך את ‎2x ו- ‎3x לשווים, הכפל את כל האיברים בכל אגף של המשוואה הראשונה ב- ‎3 ואת כל האיברים בכל אגף של המשוואה השניה ב- ‎2.

$$3\times 2x+3\left(-3\right)y+3\times 13=0,2\times 3x+2\left(-2\right)y+2\times 12=0$$

פשט.

$$6x-9y+39=0,6x-4y+24=0$$

החסר את ‎6x-4y+24=0 מ- ‎6x-9y+39=0 על-ידי חיסור איברים דומים בכל אחד מהצדדים של סימן השוויון.

$$6x-6x-9y+4y+39-24=0$$

הוסף את ‎6x ל- ‎-6x. האיברים ‎6x ו- ‎-6x מבטלים זה את זה, ונותרת משוואה שכוללת משתנה אחד בלבד ושניתן לפתור אותה.

$$-9y+4y+39-24=0$$

הוסף את ‎-9y ל- ‎4y.

$$-5y+39-24=0$$

הוסף את ‎39 ל- ‎-24.

$$-5y+15=0$$

החסר ‎15 משני אגפי המשוואה.

$$-5y=-15$$

חלק את שני האגפים ב- ‎-5.

$$y=3$$

השתמש ב- ‎3 במקום y ב- ‎3x-2y+12=0. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.

$$3x-2\times 3+12=0$$

הכפל את ‎-2 ב- ‎3.

$$3x-6+12=0$$

הוסף את ‎-6 ל- ‎12.

$$3x+6=0$$

החסר ‎6 משני אגפי המשוואה.

$$3x=-6$$

חלק את שני האגפים ב- ‎3.

$$x=-2$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=-2,y=3$$