פתור את {l}{2x+y-7=0}{17x-11y-8=0}

$$\left. \begin{array} { l } { 2 x + y - 7 = 0 } \\ { 17 x - 11 y - 8 = 0 } \end{array} \right.$$

פתור עבור x, y

$$x = \frac{85}{39} = 2\frac{7}{39} \approx 2.179487179$$

$$y = \frac{103}{39} = 2\frac{25}{39} \approx 2.641025641$$

שלבים הכוללים שימוש בהחלפה

כדי לפתור זוג משוואות באמצעות החלפה, תחילה פתור אחת מהמשוואות עבור אחד מהמשתנים. לאחר מכן החלף את התוצאה עבור משתנה זה במשוואה השניה.

$$2x+y-7=0,17x-11y-8=0$$

בחר אחת מהמשוואות ופתור אותה עבור x על-ידי בידוד x בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$2x+y-7=0$$

הוסף ‎7 לשני אגפי המשוואה.

$$2x+y=7$$

החסר ‎y משני אגפי המשוואה.

$$2x=-y+7$$

חלק את שני האגפים ב- ‎2.

$$x=\frac{1}{2}\left(-y+7\right)$$

הכפל את ‎\frac{1}{2} ב- ‎-y+7.

$$x=-\frac{1}{2}y+\frac{7}{2}$$

השתמש ב- ‎\frac{-y+7}{2} במקום ‎x במשוואה השניה, ‎17x-11y-8=0.

$$17\left(-\frac{1}{2}y+\frac{7}{2}\right)-11y-8=0$$

הכפל את ‎17 ב- ‎\frac{-y+7}{2}.

$$-\frac{17}{2}y+\frac{119}{2}-11y-8=0$$

הוסף את ‎-\frac{17y}{2} ל- ‎-11y.

$$-\frac{39}{2}y+\frac{119}{2}-8=0$$

הוסף את ‎\frac{119}{2} ל- ‎-8.

$$-\frac{39}{2}y+\frac{103}{2}=0$$

החסר ‎\frac{103}{2} משני אגפי המשוואה.

$$-\frac{39}{2}y=-\frac{103}{2}$$

חלק את שני אגפי המשוואה ב- ‎-\frac{39}{2}, פעולה הזהה להכפלת שני האגפים בהופכי של השבר.

$$y=\frac{103}{39}$$

השתמש ב- ‎\frac{103}{39} במקום y ב- ‎x=-\frac{1}{2}y+\frac{7}{2}. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.

$$x=-\frac{1}{2}\times \frac{103}{39}+\frac{7}{2}$$

הכפל את ‎-\frac{1}{2} ב- ‎\frac{103}{39} על-ידי הכפלת המונה במונה והמכנה במכנה. לאחר מכן צמצם את השבר לאיברים הקטנים ביותר אם הדבר אפשרי.

$$x=-\frac{103}{78}+\frac{7}{2}$$

הוסף את ‎\frac{7}{2} ל- ‎-\frac{103}{78} על-ידי מציאת מכנה משותף וחיבור המונים. לאחר מכן צמצם את השבר לאיברים הקטנים ביותר אם הדבר אפשרי.

$$x=\frac{85}{39}$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=\frac{85}{39},y=\frac{103}{39}$$

שלבים הכוללים שימוש במטריצות

העבר את המשוואות לצורה סטנדרטית ולאחר מכן השתמש במטריצות כדי לפתור את מערכת המשוואות.

$$2x+y-7=0,17x-11y-8=0$$

כתוב את המשוואות בצורת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}2&1\\17&-11\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}7\\8\end{matrix}\right)$$

הכפל את המשוואה שבצד השמאלי במטריצה ההופכית של \left(\begin{matrix}2&1\\17&-11\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\17&-11\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&1\\17&-11\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\17&-11\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\8\end{matrix}\right)$$

המכפלה של מטריצה וההופכי שלה היא מטריצת הזהות.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\17&-11\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\8\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\17&-11\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\8\end{matrix}\right)$$

עבור המטריצה 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), המטריצה ההפוכה היא \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), כדי שניתן יהיה לכתוב מחדש את משוואת המטריצה כבעיית הכפלת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{11}{2\left(-11\right)-17}&-\frac{1}{2\left(-11\right)-17}\\-\frac{17}{2\left(-11\right)-17}&\frac{2}{2\left(-11\right)-17}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}7\\8\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{11}{39}&\frac{1}{39}\\\frac{17}{39}&-\frac{2}{39}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}7\\8\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{11}{39}\times 7+\frac{1}{39}\times 8\\\frac{17}{39}\times 7-\frac{2}{39}\times 8\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{85}{39}\\\frac{103}{39}\end{matrix}\right)$$

חלץ את רכיבי המטריצה x ו- y.

$$x=\frac{85}{39},y=\frac{103}{39}$$

שלבים הכוללים שימוש באלימינציה

כדי לפתור באמצעות אלימינציה, המקדמים של אחד מהמשתנים חייבים להיות זהים בשתי המשוואות כדי שהמשתנה יתבטל בעת החסרת משוואה אחת מהשניה.

$$2x+y-7=0,17x-11y-8=0$$

כדי להפוך את ‎2x ו- ‎17x לשווים, הכפל את כל האיברים בכל אגף של המשוואה הראשונה ב- ‎17 ואת כל האיברים בכל אגף של המשוואה השניה ב- ‎2.

$$17\times 2x+17y+17\left(-7\right)=0,2\times 17x+2\left(-11\right)y+2\left(-8\right)=0$$

פשט.

$$34x+17y-119=0,34x-22y-16=0$$

החסר את ‎34x-22y-16=0 מ- ‎34x+17y-119=0 על-ידי חיסור איברים דומים בכל אחד מהצדדים של סימן השוויון.

$$34x-34x+17y+22y-119+16=0$$

הוסף את ‎34x ל- ‎-34x. האיברים ‎34x ו- ‎-34x מבטלים זה את זה, ונותרת משוואה שכוללת משתנה אחד בלבד ושניתן לפתור אותה.

$$17y+22y-119+16=0$$

הוסף את ‎17y ל- ‎22y.

$$39y-119+16=0$$

הוסף את ‎-119 ל- ‎16.

$$39y-103=0$$

הוסף ‎103 לשני אגפי המשוואה.

$$39y=103$$

חלק את שני האגפים ב- ‎39.

$$y=\frac{103}{39}$$

השתמש ב- ‎\frac{103}{39} במקום y ב- ‎17x-11y-8=0. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.

$$17x-11\times \frac{103}{39}-8=0$$

הכפל את ‎-11 ב- ‎\frac{103}{39}.

$$17x-\frac{1133}{39}-8=0$$

הוסף את ‎-\frac{1133}{39} ל- ‎-8.

$$17x-\frac{1445}{39}=0$$

הוסף ‎\frac{1445}{39} לשני אגפי המשוואה.

$$17x=\frac{1445}{39}$$

חלק את שני האגפים ב- ‎17.

$$x=\frac{85}{39}$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=\frac{85}{39},y=\frac{103}{39}$$