פתור עבור x, y
x=\frac{1}{2}=0.5
y=7
גרף
שתף
הועתק ללוח
2x+y=8,2x+3y=22
כדי לפתור זוג משוואות באמצעות החלפה, תחילה פתור אחת מהמשוואות עבור אחד מהמשתנים. לאחר מכן החלף את התוצאה עבור משתנה זה במשוואה השניה.
2x+y=8
בחר אחת מהמשוואות ופתור אותה עבור x על-ידי בידוד x בצד השמאלי של סימן השוויון.
2x=-y+8
החסר y משני אגפי המשוואה.
x=\frac{1}{2}\left(-y+8\right)
חלק את שני האגפים ב- 2.
x=-\frac{1}{2}y+4
הכפל את \frac{1}{2} ב- -y+8.
2\left(-\frac{1}{2}y+4\right)+3y=22
השתמש ב- -\frac{y}{2}+4 במקום x במשוואה השניה, 2x+3y=22.
-y+8+3y=22
הכפל את 2 ב- -\frac{y}{2}+4.
2y+8=22
הוסף את -y ל- 3y.
2y=14
החסר 8 משני אגפי המשוואה.
y=7
חלק את שני האגפים ב- 2.
x=-\frac{1}{2}\times 7+4
השתמש ב- 7 במקום y ב- x=-\frac{1}{2}y+4. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.
x=-\frac{7}{2}+4
הכפל את -\frac{1}{2} ב- 7.
x=\frac{1}{2}
הוסף את 4 ל- -\frac{7}{2}.
x=\frac{1}{2},y=7
המערכת נפתרה כעת.
2x+y=8,2x+3y=22
העבר את המשוואות לצורה סטנדרטית ולאחר מכן השתמש במטריצות כדי לפתור את מערכת המשוואות.
\left(\begin{matrix}2&1\\2&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}8\\22\end{matrix}\right)
כתוב את המשוואות בצורת מטריצה.
inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&1\\2&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\22\end{matrix}\right)
הכפל את המשוואה שבצד השמאלי במטריצה ההופכית של \left(\begin{matrix}2&1\\2&3\end{matrix}\right).
\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\22\end{matrix}\right)
המכפלה של מטריצה וההופכי שלה היא מטריצת הזהות.
\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\22\end{matrix}\right)
הכפל את המטריצות בצד השמאלי של סימן השוויון.
\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{2\times 3-2}&-\frac{1}{2\times 3-2}\\-\frac{2}{2\times 3-2}&\frac{2}{2\times 3-2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}8\\22\end{matrix}\right)
עבור המטריצה 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), המטריצה ההפוכה היא \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), כדי שניתן יהיה לכתוב מחדש את משוואת המטריצה כבעיית הכפלת מטריצה.
\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{4}&-\frac{1}{4}\\-\frac{1}{2}&\frac{1}{2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}8\\22\end{matrix}\right)
בצע את הפעולות האריתמטיות.
\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{4}\times 8-\frac{1}{4}\times 22\\-\frac{1}{2}\times 8+\frac{1}{2}\times 22\end{matrix}\right)
הכפל את המטריצות.
\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}\\7\end{matrix}\right)
בצע את הפעולות האריתמטיות.
x=\frac{1}{2},y=7
חלץ את רכיבי המטריצה x ו- y.
2x+y=8,2x+3y=22
כדי לפתור באמצעות אלימינציה, המקדמים של אחד מהמשתנים חייבים להיות זהים בשתי המשוואות כדי שהמשתנה יתבטל בעת החסרת משוואה אחת מהשניה.
2x-2x+y-3y=8-22
החסר את 2x+3y=22 מ- 2x+y=8 על-ידי חיסור איברים דומים בכל אחד מהצדדים של סימן השוויון.
y-3y=8-22
הוסף את 2x ל- -2x. האיברים 2x ו- -2x מבטלים זה את זה, ונותרת משוואה שכוללת משתנה אחד בלבד ושניתן לפתור אותה.
-2y=8-22
הוסף את y ל- -3y.
-2y=-14
הוסף את 8 ל- -22.
y=7
חלק את שני האגפים ב- -2.
2x+3\times 7=22
השתמש ב- 7 במקום y ב- 2x+3y=22. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.
2x+21=22
הכפל את 3 ב- 7.
2x=1
החסר 21 משני אגפי המשוואה.
x=\frac{1}{2}
חלק את שני האגפים ב- 2.
x=\frac{1}{2},y=7
המערכת נפתרה כעת.
דוגמאות
משוואה ממעלה שנייה
{ x } ^ { 2 } - 4 x - 5 = 0
טריגונומטריה
4 \sin \theta \cos \theta = 2 \sin \theta
משוואה לינארית
y = 3x + 4
אריתמטיקה
699 * 533
מטריצה
\left[ \begin{array} { l l } { 2 } & { 3 } \\ { 5 } & { 4 } \end{array} \right] \left[ \begin{array} { l l l } { 2 } & { 0 } & { 3 } \\ { -1 } & { 1 } & { 5 } \end{array} \right]
משוואה בו-זמנית
\left. \begin{cases} { 8x+2y = 46 } \\ { 7x+3y = 47 } \end{cases} \right.
גזירה
\frac { d } { d x } \frac { ( 3 x ^ { 2 } - 2 ) } { ( x - 5 ) }
אינטגרציה
\int _ { 0 } ^ { 1 } x e ^ { - x ^ { 2 } } d x
גבולות
\lim _{x \rightarrow-3} \frac{x^{2}-9}{x^{2}+2 x-3}