פתור את {l}{2x+y=45}{3x+5y=70}

$$\left. \begin{array} { l } { 2 x + y = 45 } \\ { 3 x + 5 y = 70 } \end{array} \right.$$

פתור עבור x, y

$$x = \frac{155}{7} = 22\frac{1}{7} \approx 22.142857143$$

$$y=\frac{5}{7}\approx 0.714285714$$

שלבים הכוללים שימוש בהחלפה

כדי לפתור זוג משוואות באמצעות החלפה, תחילה פתור אחת מהמשוואות עבור אחד מהמשתנים. לאחר מכן החלף את התוצאה עבור משתנה זה במשוואה השניה.

$$2x+y=45,3x+5y=70$$

בחר אחת מהמשוואות ופתור אותה עבור x על-ידי בידוד x בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$2x+y=45$$

החסר ‎y משני אגפי המשוואה.

$$2x=-y+45$$

חלק את שני האגפים ב- ‎2.

$$x=\frac{1}{2}\left(-y+45\right)$$

הכפל את ‎\frac{1}{2} ב- ‎-y+45.

$$x=-\frac{1}{2}y+\frac{45}{2}$$

השתמש ב- ‎\frac{-y+45}{2} במקום ‎x במשוואה השניה, ‎3x+5y=70.

$$3\left(-\frac{1}{2}y+\frac{45}{2}\right)+5y=70$$

הכפל את ‎3 ב- ‎\frac{-y+45}{2}.

$$-\frac{3}{2}y+\frac{135}{2}+5y=70$$

הוסף את ‎-\frac{3y}{2} ל- ‎5y.

$$\frac{7}{2}y+\frac{135}{2}=70$$

החסר ‎\frac{135}{2} משני אגפי המשוואה.

$$\frac{7}{2}y=\frac{5}{2}$$

חלק את שני אגפי המשוואה ב- ‎\frac{7}{2}, פעולה הזהה להכפלת שני האגפים בהופכי של השבר.

$$y=\frac{5}{7}$$

השתמש ב- ‎\frac{5}{7} במקום y ב- ‎x=-\frac{1}{2}y+\frac{45}{2}. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.

$$x=-\frac{1}{2}\times \frac{5}{7}+\frac{45}{2}$$

הכפל את ‎-\frac{1}{2} ב- ‎\frac{5}{7} על-ידי הכפלת המונה במונה והמכנה במכנה. לאחר מכן צמצם את השבר לאיברים הקטנים ביותר אם הדבר אפשרי.

$$x=-\frac{5}{14}+\frac{45}{2}$$

הוסף את ‎\frac{45}{2} ל- ‎-\frac{5}{14} על-ידי מציאת מכנה משותף וחיבור המונים. לאחר מכן צמצם את השבר לאיברים הקטנים ביותר אם הדבר אפשרי.

$$x=\frac{155}{7}$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=\frac{155}{7},y=\frac{5}{7}$$

שלבים הכוללים שימוש במטריצות

העבר את המשוואות לצורה סטנדרטית ולאחר מכן השתמש במטריצות כדי לפתור את מערכת המשוואות.

$$2x+y=45,3x+5y=70$$

כתוב את המשוואות בצורת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}2&1\\3&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}45\\70\end{matrix}\right)$$

הכפל את המשוואה שבצד השמאלי במטריצה ההופכית של \left(\begin{matrix}2&1\\3&5\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\3&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&1\\3&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\3&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}45\\70\end{matrix}\right)$$

המכפלה של מטריצה וההופכי שלה היא מטריצת הזהות.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\3&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}45\\70\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\3&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}45\\70\end{matrix}\right)$$

עבור המטריצה 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), המטריצה ההפוכה היא \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), כדי שניתן יהיה לכתוב מחדש את משוואת המטריצה כבעיית הכפלת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{2\times 5-3}&-\frac{1}{2\times 5-3}\\-\frac{3}{2\times 5-3}&\frac{2}{2\times 5-3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}45\\70\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{7}&-\frac{1}{7}\\-\frac{3}{7}&\frac{2}{7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}45\\70\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{7}\times 45-\frac{1}{7}\times 70\\-\frac{3}{7}\times 45+\frac{2}{7}\times 70\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{155}{7}\\\frac{5}{7}\end{matrix}\right)$$

חלץ את רכיבי המטריצה x ו- y.

$$x=\frac{155}{7},y=\frac{5}{7}$$

שלבים הכוללים שימוש באלימינציה

כדי לפתור באמצעות אלימינציה, המקדמים של אחד מהמשתנים חייבים להיות זהים בשתי המשוואות כדי שהמשתנה יתבטל בעת החסרת משוואה אחת מהשניה.

$$2x+y=45,3x+5y=70$$

כדי להפוך את ‎2x ו- ‎3x לשווים, הכפל את כל האיברים בכל אגף של המשוואה הראשונה ב- ‎3 ואת כל האיברים בכל אגף של המשוואה השניה ב- ‎2.

$$3\times 2x+3y=3\times 45,2\times 3x+2\times 5y=2\times 70$$

פשט.

$$6x+3y=135,6x+10y=140$$

החסר את ‎6x+10y=140 מ- ‎6x+3y=135 על-ידי חיסור איברים דומים בכל אחד מהצדדים של סימן השוויון.

$$6x-6x+3y-10y=135-140$$

הוסף את ‎6x ל- ‎-6x. האיברים ‎6x ו- ‎-6x מבטלים זה את זה, ונותרת משוואה שכוללת משתנה אחד בלבד ושניתן לפתור אותה.

$$3y-10y=135-140$$

הוסף את ‎3y ל- ‎-10y.

$$-7y=135-140$$

הוסף את ‎135 ל- ‎-140.

$$-7y=-5$$

חלק את שני האגפים ב- ‎-7.

$$y=\frac{5}{7}$$

השתמש ב- ‎\frac{5}{7} במקום y ב- ‎3x+5y=70. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.

$$3x+5\times \frac{5}{7}=70$$

הכפל את ‎5 ב- ‎\frac{5}{7}.

$$3x+\frac{25}{7}=70$$

החסר ‎\frac{25}{7} משני אגפי המשוואה.

$$3x=\frac{465}{7}$$

חלק את שני האגפים ב- ‎3.

$$x=\frac{155}{7}$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=\frac{155}{7},y=\frac{5}{7}$$