פתור את {l}{2x+y=2}{y=-x-2}

$$\left. \begin{array} { l } { 2 x + y = 2 } \\ { y = - x - 2 } \end{array} \right.$$

פתור עבור x, y

$$x=4$$

$$y=-6$$

שלבים הכוללים שימוש בהחלפה

שקול את המשוואה השניה. הוסף ‎x משני הצדדים.

$$y+x=-2$$

כדי לפתור זוג משוואות באמצעות החלפה, תחילה פתור אחת מהמשוואות עבור אחד מהמשתנים. לאחר מכן החלף את התוצאה עבור משתנה זה במשוואה השניה.

$$2x+y=2,x+y=-2$$

בחר אחת מהמשוואות ופתור אותה עבור x על-ידי בידוד x בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$2x+y=2$$

החסר ‎y משני אגפי המשוואה.

$$2x=-y+2$$

חלק את שני האגפים ב- ‎2.

$$x=\frac{1}{2}\left(-y+2\right)$$

הכפל את ‎\frac{1}{2} ב- ‎-y+2.

$$x=-\frac{1}{2}y+1$$

השתמש ב- ‎-\frac{y}{2}+1 במקום ‎x במשוואה השניה, ‎x+y=-2.

$$-\frac{1}{2}y+1+y=-2$$

הוסף את ‎-\frac{y}{2} ל- ‎y.

$$\frac{1}{2}y+1=-2$$

החסר ‎1 משני אגפי המשוואה.

$$\frac{1}{2}y=-3$$

הכפל את שני האגפים ב- ‎2.

$$y=-6$$

השתמש ב- ‎-6 במקום y ב- ‎x=-\frac{1}{2}y+1. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.

$$x=-\frac{1}{2}\left(-6\right)+1$$

הכפל את ‎-\frac{1}{2} ב- ‎-6.

$$x=3+1$$

הוסף את ‎1 ל- ‎3.

$$x=4$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=4,y=-6$$

שלבים הכוללים שימוש במטריצות

שקול את המשוואה השניה. הוסף ‎x משני הצדדים.

$$y+x=-2$$

העבר את המשוואות לצורה סטנדרטית ולאחר מכן השתמש במטריצות כדי לפתור את מערכת המשוואות.

$$2x+y=2,x+y=-2$$

כתוב את המשוואות בצורת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}2&1\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\\-2\end{matrix}\right)$$

הכפל את המשוואה שבצד השמאלי במטריצה ההופכית של \left(\begin{matrix}2&1\\1&1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&1\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\-2\end{matrix}\right)$$

המכפלה של מטריצה וההופכי שלה היא מטריצת הזהות.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\-2\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\-2\end{matrix}\right)$$

עבור המטריצה 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), המטריצה ההפוכה היא \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), כדי שניתן יהיה לכתוב מחדש את משוואת המטריצה כבעיית הכפלת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2-1}&-\frac{1}{2-1}\\-\frac{1}{2-1}&\frac{2}{2-1}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2\\-2\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1&-1\\-1&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2\\-2\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2-\left(-2\right)\\-2+2\left(-2\right)\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4\\-6\end{matrix}\right)$$

חלץ את רכיבי המטריצה x ו- y.

$$x=4,y=-6$$

שלבים הכוללים שימוש באלימינציה

שקול את המשוואה השניה. הוסף ‎x משני הצדדים.

$$y+x=-2$$

כדי לפתור באמצעות אלימינציה, המקדמים של אחד מהמשתנים חייבים להיות זהים בשתי המשוואות כדי שהמשתנה יתבטל בעת החסרת משוואה אחת מהשניה.

$$2x+y=2,x+y=-2$$

החסר את ‎x+y=-2 מ- ‎2x+y=2 על-ידי חיסור איברים דומים בכל אחד מהצדדים של סימן השוויון.

$$2x-x+y-y=2+2$$

הוסף את ‎y ל- ‎-y. האיברים ‎y ו- ‎-y מבטלים זה את זה, ונותרת משוואה שכוללת משתנה אחד בלבד ושניתן לפתור אותה.

$$2x-x=2+2$$

הוסף את ‎2x ל- ‎-x.

$$x=2+2$$

הוסף את ‎2 ל- ‎2.

$$x=4$$

השתמש ב- ‎4 במקום x ב- ‎x+y=-2. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את y ישירות.

$$4+y=-2$$

החסר ‎4 משני אגפי המשוואה.

$$y=-6$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=4,y=-6$$