פתור את {l}{2x+7y=22}{2x-3y=-14}

$$\left. \begin{array} { l } { 2 x + 7 y = 22 } \\ { 2 x - 3 y = - 14 } \end{array} \right.$$

פתור עבור x, y

$$x = -\frac{8}{5} = -1\frac{3}{5} = -1.6$$

$$y = \frac{18}{5} = 3\frac{3}{5} = 3.6$$

שלבים הכוללים שימוש בהחלפה

כדי לפתור זוג משוואות באמצעות החלפה, תחילה פתור אחת מהמשוואות עבור אחד מהמשתנים. לאחר מכן החלף את התוצאה עבור משתנה זה במשוואה השניה.

$$2x+7y=22,2x-3y=-14$$

בחר אחת מהמשוואות ופתור אותה עבור x על-ידי בידוד x בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$2x+7y=22$$

החסר ‎7y משני אגפי המשוואה.

$$2x=-7y+22$$

חלק את שני האגפים ב- ‎2.

$$x=\frac{1}{2}\left(-7y+22\right)$$

הכפל את ‎\frac{1}{2} ב- ‎-7y+22.

$$x=-\frac{7}{2}y+11$$

השתמש ב- ‎-\frac{7y}{2}+11 במקום ‎x במשוואה השניה, ‎2x-3y=-14.

$$2\left(-\frac{7}{2}y+11\right)-3y=-14$$

הכפל את ‎2 ב- ‎-\frac{7y}{2}+11.

$$-7y+22-3y=-14$$

הוסף את ‎-7y ל- ‎-3y.

$$-10y+22=-14$$

החסר ‎22 משני אגפי המשוואה.

$$-10y=-36$$

חלק את שני האגפים ב- ‎-10.

$$y=\frac{18}{5}$$

השתמש ב- ‎\frac{18}{5} במקום y ב- ‎x=-\frac{7}{2}y+11. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.

$$x=-\frac{7}{2}\times \frac{18}{5}+11$$

הכפל את ‎-\frac{7}{2} ב- ‎\frac{18}{5} על-ידי הכפלת המונה במונה והמכנה במכנה. לאחר מכן צמצם את השבר לאיברים הקטנים ביותר אם הדבר אפשרי.

$$x=-\frac{63}{5}+11$$

הוסף את ‎11 ל- ‎-\frac{63}{5}.

$$x=-\frac{8}{5}$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=-\frac{8}{5},y=\frac{18}{5}$$

שלבים הכוללים שימוש במטריצות

העבר את המשוואות לצורה סטנדרטית ולאחר מכן השתמש במטריצות כדי לפתור את מערכת המשוואות.

$$2x+7y=22,2x-3y=-14$$

כתוב את המשוואות בצורת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}2&7\\2&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}22\\-14\end{matrix}\right)$$

הכפל את המשוואה שבצד השמאלי במטריצה ההופכית של \left(\begin{matrix}2&7\\2&-3\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&7\\2&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&7\\2&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&7\\2&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}22\\-14\end{matrix}\right)$$

המכפלה של מטריצה וההופכי שלה היא מטריצת הזהות.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&7\\2&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}22\\-14\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&7\\2&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}22\\-14\end{matrix}\right)$$

עבור המטריצה 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), המטריצה ההפוכה היא \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), כדי שניתן יהיה לכתוב מחדש את משוואת המטריצה כבעיית הכפלת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{3}{2\left(-3\right)-7\times 2}&-\frac{7}{2\left(-3\right)-7\times 2}\\-\frac{2}{2\left(-3\right)-7\times 2}&\frac{2}{2\left(-3\right)-7\times 2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}22\\-14\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{20}&\frac{7}{20}\\\frac{1}{10}&-\frac{1}{10}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}22\\-14\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{20}\times 22+\frac{7}{20}\left(-14\right)\\\frac{1}{10}\times 22-\frac{1}{10}\left(-14\right)\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{8}{5}\\\frac{18}{5}\end{matrix}\right)$$

חלץ את רכיבי המטריצה x ו- y.

$$x=-\frac{8}{5},y=\frac{18}{5}$$

שלבים הכוללים שימוש באלימינציה

כדי לפתור באמצעות אלימינציה, המקדמים של אחד מהמשתנים חייבים להיות זהים בשתי המשוואות כדי שהמשתנה יתבטל בעת החסרת משוואה אחת מהשניה.

$$2x+7y=22,2x-3y=-14$$

החסר את ‎2x-3y=-14 מ- ‎2x+7y=22 על-ידי חיסור איברים דומים בכל אחד מהצדדים של סימן השוויון.

$$2x-2x+7y+3y=22+14$$

הוסף את ‎2x ל- ‎-2x. האיברים ‎2x ו- ‎-2x מבטלים זה את זה, ונותרת משוואה שכוללת משתנה אחד בלבד ושניתן לפתור אותה.

$$7y+3y=22+14$$

הוסף את ‎7y ל- ‎3y.

$$10y=22+14$$

הוסף את ‎22 ל- ‎14.

$$10y=36$$

חלק את שני האגפים ב- ‎10.

$$y=\frac{18}{5}$$

השתמש ב- ‎\frac{18}{5} במקום y ב- ‎2x-3y=-14. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.

$$2x-3\times \frac{18}{5}=-14$$

הכפל את ‎-3 ב- ‎\frac{18}{5}.

$$2x-\frac{54}{5}=-14$$

הוסף ‎\frac{54}{5} לשני אגפי המשוואה.

$$2x=-\frac{16}{5}$$

חלק את שני האגפים ב- ‎2.

$$x=-\frac{8}{5}$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=-\frac{8}{5},y=\frac{18}{5}$$