פתור את {l}{2x+5y=16}{3x-7y=24}

$$\left. \begin{array} { l } { 2 x + 5 y = 16 } \\ { 3 x - 7 y = 24 } \end{array} \right.$$

פתור עבור x, y

$$x=8$$

$$y=0$$

שלבים הכוללים שימוש בהחלפה

כדי לפתור זוג משוואות באמצעות החלפה, תחילה פתור אחת מהמשוואות עבור אחד מהמשתנים. לאחר מכן החלף את התוצאה עבור משתנה זה במשוואה השניה.

$$2x+5y=16,3x-7y=24$$

בחר אחת מהמשוואות ופתור אותה עבור x על-ידי בידוד x בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$2x+5y=16$$

החסר ‎5y משני אגפי המשוואה.

$$2x=-5y+16$$

חלק את שני האגפים ב- ‎2.

$$x=\frac{1}{2}\left(-5y+16\right)$$

הכפל את ‎\frac{1}{2} ב- ‎-5y+16.

$$x=-\frac{5}{2}y+8$$

השתמש ב- ‎-\frac{5y}{2}+8 במקום ‎x במשוואה השניה, ‎3x-7y=24.

$$3\left(-\frac{5}{2}y+8\right)-7y=24$$

הכפל את ‎3 ב- ‎-\frac{5y}{2}+8.

$$-\frac{15}{2}y+24-7y=24$$

הוסף את ‎-\frac{15y}{2} ל- ‎-7y.

$$-\frac{29}{2}y+24=24$$

החסר ‎24 משני אגפי המשוואה.

$$-\frac{29}{2}y=0$$

חלק את שני אגפי המשוואה ב- ‎-\frac{29}{2}, פעולה הזהה להכפלת שני האגפים בהופכי של השבר.

$$y=0$$

השתמש ב- ‎0 במקום y ב- ‎x=-\frac{5}{2}y+8. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.

$$x=8$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=8,y=0$$

שלבים הכוללים שימוש במטריצות

העבר את המשוואות לצורה סטנדרטית ולאחר מכן השתמש במטריצות כדי לפתור את מערכת המשוואות.

$$2x+5y=16,3x-7y=24$$

כתוב את המשוואות בצורת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}2&5\\3&-7\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}16\\24\end{matrix}\right)$$

הכפל את המשוואה שבצד השמאלי במטריצה ההופכית של \left(\begin{matrix}2&5\\3&-7\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&5\\3&-7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&5\\3&-7\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&5\\3&-7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}16\\24\end{matrix}\right)$$

המכפלה של מטריצה וההופכי שלה היא מטריצת הזהות.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&5\\3&-7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}16\\24\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&5\\3&-7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}16\\24\end{matrix}\right)$$

עבור המטריצה 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), המטריצה ההפוכה היא \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), כדי שניתן יהיה לכתוב מחדש את משוואת המטריצה כבעיית הכפלת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{7}{2\left(-7\right)-5\times 3}&-\frac{5}{2\left(-7\right)-5\times 3}\\-\frac{3}{2\left(-7\right)-5\times 3}&\frac{2}{2\left(-7\right)-5\times 3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}16\\24\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{29}&\frac{5}{29}\\\frac{3}{29}&-\frac{2}{29}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}16\\24\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{29}\times 16+\frac{5}{29}\times 24\\\frac{3}{29}\times 16-\frac{2}{29}\times 24\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}8\\0\end{matrix}\right)$$

חלץ את רכיבי המטריצה x ו- y.

$$x=8,y=0$$

שלבים הכוללים שימוש באלימינציה

כדי לפתור באמצעות אלימינציה, המקדמים של אחד מהמשתנים חייבים להיות זהים בשתי המשוואות כדי שהמשתנה יתבטל בעת החסרת משוואה אחת מהשניה.

$$2x+5y=16,3x-7y=24$$

כדי להפוך את ‎2x ו- ‎3x לשווים, הכפל את כל האיברים בכל אגף של המשוואה הראשונה ב- ‎3 ואת כל האיברים בכל אגף של המשוואה השניה ב- ‎2.

$$3\times 2x+3\times 5y=3\times 16,2\times 3x+2\left(-7\right)y=2\times 24$$

פשט.

$$6x+15y=48,6x-14y=48$$

החסר את ‎6x-14y=48 מ- ‎6x+15y=48 על-ידי חיסור איברים דומים בכל אחד מהצדדים של סימן השוויון.

$$6x-6x+15y+14y=48-48$$

הוסף את ‎6x ל- ‎-6x. האיברים ‎6x ו- ‎-6x מבטלים זה את זה, ונותרת משוואה שכוללת משתנה אחד בלבד ושניתן לפתור אותה.

$$15y+14y=48-48$$

הוסף את ‎15y ל- ‎14y.

$$29y=48-48$$

הוסף את ‎48 ל- ‎-48.

$$29y=0$$

חלק את שני האגפים ב- ‎29.

$$y=0$$

השתמש ב- ‎0 במקום y ב- ‎3x-7y=24. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.

$$3x=24$$

חלק את שני האגפים ב- ‎3.

$$x=8$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=8,y=0$$