פתור את {l}{2x+5y=130}{4x+3y=218}

$$\left. \begin{array} { l } { 2 x + 5 y = 130 } \\ { 4 x + 3 y = 218 } \end{array} \right.$$

פתור עבור x, y

$$x=50$$

$$y=6$$

שלבים הכוללים שימוש בהחלפה

כדי לפתור זוג משוואות באמצעות החלפה, תחילה פתור אחת מהמשוואות עבור אחד מהמשתנים. לאחר מכן החלף את התוצאה עבור משתנה זה במשוואה השניה.

$$2x+5y=130,4x+3y=218$$

בחר אחת מהמשוואות ופתור אותה עבור x על-ידי בידוד x בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$2x+5y=130$$

החסר ‎5y משני אגפי המשוואה.

$$2x=-5y+130$$

חלק את שני האגפים ב- ‎2.

$$x=\frac{1}{2}\left(-5y+130\right)$$

הכפל את ‎\frac{1}{2} ב- ‎-5y+130.

$$x=-\frac{5}{2}y+65$$

השתמש ב- ‎-\frac{5y}{2}+65 במקום ‎x במשוואה השניה, ‎4x+3y=218.

$$4\left(-\frac{5}{2}y+65\right)+3y=218$$

הכפל את ‎4 ב- ‎-\frac{5y}{2}+65.

$$-10y+260+3y=218$$

הוסף את ‎-10y ל- ‎3y.

$$-7y+260=218$$

החסר ‎260 משני אגפי המשוואה.

$$-7y=-42$$

חלק את שני האגפים ב- ‎-7.

$$y=6$$

השתמש ב- ‎6 במקום y ב- ‎x=-\frac{5}{2}y+65. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.

$$x=-\frac{5}{2}\times 6+65$$

הכפל את ‎-\frac{5}{2} ב- ‎6.

$$x=-15+65$$

הוסף את ‎65 ל- ‎-15.

$$x=50$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=50,y=6$$

שלבים הכוללים שימוש במטריצות

העבר את המשוואות לצורה סטנדרטית ולאחר מכן השתמש במטריצות כדי לפתור את מערכת המשוואות.

$$2x+5y=130,4x+3y=218$$

כתוב את המשוואות בצורת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}2&5\\4&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}130\\218\end{matrix}\right)$$

הכפל את המשוואה שבצד השמאלי במטריצה ההופכית של \left(\begin{matrix}2&5\\4&3\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&5\\4&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&5\\4&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&5\\4&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}130\\218\end{matrix}\right)$$

המכפלה של מטריצה וההופכי שלה היא מטריצת הזהות.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&5\\4&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}130\\218\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&5\\4&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}130\\218\end{matrix}\right)$$

עבור המטריצה 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), המטריצה ההפוכה היא \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), כדי שניתן יהיה לכתוב מחדש את משוואת המטריצה כבעיית הכפלת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{2\times 3-5\times 4}&-\frac{5}{2\times 3-5\times 4}\\-\frac{4}{2\times 3-5\times 4}&\frac{2}{2\times 3-5\times 4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}130\\218\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{3}{14}&\frac{5}{14}\\\frac{2}{7}&-\frac{1}{7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}130\\218\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{3}{14}\times 130+\frac{5}{14}\times 218\\\frac{2}{7}\times 130-\frac{1}{7}\times 218\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}50\\6\end{matrix}\right)$$

חלץ את רכיבי המטריצה x ו- y.

$$x=50,y=6$$

שלבים הכוללים שימוש באלימינציה

כדי לפתור באמצעות אלימינציה, המקדמים של אחד מהמשתנים חייבים להיות זהים בשתי המשוואות כדי שהמשתנה יתבטל בעת החסרת משוואה אחת מהשניה.

$$2x+5y=130,4x+3y=218$$

כדי להפוך את ‎2x ו- ‎4x לשווים, הכפל את כל האיברים בכל אגף של המשוואה הראשונה ב- ‎4 ואת כל האיברים בכל אגף של המשוואה השניה ב- ‎2.

$$4\times 2x+4\times 5y=4\times 130,2\times 4x+2\times 3y=2\times 218$$

פשט.

$$8x+20y=520,8x+6y=436$$

החסר את ‎8x+6y=436 מ- ‎8x+20y=520 על-ידי חיסור איברים דומים בכל אחד מהצדדים של סימן השוויון.

$$8x-8x+20y-6y=520-436$$

הוסף את ‎8x ל- ‎-8x. האיברים ‎8x ו- ‎-8x מבטלים זה את זה, ונותרת משוואה שכוללת משתנה אחד בלבד ושניתן לפתור אותה.

$$20y-6y=520-436$$

הוסף את ‎20y ל- ‎-6y.

$$14y=520-436$$

הוסף את ‎520 ל- ‎-436.

$$14y=84$$

חלק את שני האגפים ב- ‎14.

$$y=6$$

השתמש ב- ‎6 במקום y ב- ‎4x+3y=218. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.

$$4x+3\times 6=218$$

הכפל את ‎3 ב- ‎6.

$$4x+18=218$$

החסר ‎18 משני אגפי המשוואה.

$$4x=200$$

חלק את שני האגפים ב- ‎4.

$$x=50$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=50,y=6$$