פתור את {l}{2x+3y=5}{7x=6-5y}

$$\left. \begin{array} { l } { 2 x + 3 y = 5 } \\ { 7 x = 6 - 5 y } \end{array} \right.$$

פתור עבור x, y

$$x=-\frac{7}{11}\approx -0.636363636$$

$$y = \frac{23}{11} = 2\frac{1}{11} \approx 2.090909091$$

שלבים הכוללים שימוש בהחלפה

שקול את המשוואה השניה. הוסף ‎5y משני הצדדים.

$$7x+5y=6$$

כדי לפתור זוג משוואות באמצעות החלפה, תחילה פתור אחת מהמשוואות עבור אחד מהמשתנים. לאחר מכן החלף את התוצאה עבור משתנה זה במשוואה השניה.

$$2x+3y=5,7x+5y=6$$

בחר אחת מהמשוואות ופתור אותה עבור x על-ידי בידוד x בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$2x+3y=5$$

החסר ‎3y משני אגפי המשוואה.

$$2x=-3y+5$$

חלק את שני האגפים ב- ‎2.

$$x=\frac{1}{2}\left(-3y+5\right)$$

הכפל את ‎\frac{1}{2} ב- ‎-3y+5.

$$x=-\frac{3}{2}y+\frac{5}{2}$$

השתמש ב- ‎\frac{-3y+5}{2} במקום ‎x במשוואה השניה, ‎7x+5y=6.

$$7\left(-\frac{3}{2}y+\frac{5}{2}\right)+5y=6$$

הכפל את ‎7 ב- ‎\frac{-3y+5}{2}.

$$-\frac{21}{2}y+\frac{35}{2}+5y=6$$

הוסף את ‎-\frac{21y}{2} ל- ‎5y.

$$-\frac{11}{2}y+\frac{35}{2}=6$$

החסר ‎\frac{35}{2} משני אגפי המשוואה.

$$-\frac{11}{2}y=-\frac{23}{2}$$

חלק את שני אגפי המשוואה ב- ‎-\frac{11}{2}, פעולה הזהה להכפלת שני האגפים בהופכי של השבר.

$$y=\frac{23}{11}$$

השתמש ב- ‎\frac{23}{11} במקום y ב- ‎x=-\frac{3}{2}y+\frac{5}{2}. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.

$$x=-\frac{3}{2}\times \frac{23}{11}+\frac{5}{2}$$

הכפל את ‎-\frac{3}{2} ב- ‎\frac{23}{11} על-ידי הכפלת המונה במונה והמכנה במכנה. לאחר מכן צמצם את השבר לאיברים הקטנים ביותר אם הדבר אפשרי.

$$x=-\frac{69}{22}+\frac{5}{2}$$

הוסף את ‎\frac{5}{2} ל- ‎-\frac{69}{22} על-ידי מציאת מכנה משותף וחיבור המונים. לאחר מכן צמצם את השבר לאיברים הקטנים ביותר אם הדבר אפשרי.

$$x=-\frac{7}{11}$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=-\frac{7}{11},y=\frac{23}{11}$$

שלבים הכוללים שימוש במטריצות

שקול את המשוואה השניה. הוסף ‎5y משני הצדדים.

$$7x+5y=6$$

העבר את המשוואות לצורה סטנדרטית ולאחר מכן השתמש במטריצות כדי לפתור את מערכת המשוואות.

$$2x+3y=5,7x+5y=6$$

כתוב את המשוואות בצורת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}2&3\\7&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\6\end{matrix}\right)$$

הכפל את המשוואה שבצד השמאלי במטריצה ההופכית של \left(\begin{matrix}2&3\\7&5\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\7&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&3\\7&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\7&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\6\end{matrix}\right)$$

המכפלה של מטריצה וההופכי שלה היא מטריצת הזהות.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\7&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\6\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\7&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\6\end{matrix}\right)$$

עבור המטריצה 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), המטריצה ההפוכה היא \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), כדי שניתן יהיה לכתוב מחדש את משוואת המטריצה כבעיית הכפלת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{2\times 5-3\times 7}&-\frac{3}{2\times 5-3\times 7}\\-\frac{7}{2\times 5-3\times 7}&\frac{2}{2\times 5-3\times 7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\6\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{5}{11}&\frac{3}{11}\\\frac{7}{11}&-\frac{2}{11}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\6\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{5}{11}\times 5+\frac{3}{11}\times 6\\\frac{7}{11}\times 5-\frac{2}{11}\times 6\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{7}{11}\\\frac{23}{11}\end{matrix}\right)$$

חלץ את רכיבי המטריצה x ו- y.

$$x=-\frac{7}{11},y=\frac{23}{11}$$

שלבים הכוללים שימוש באלימינציה

שקול את המשוואה השניה. הוסף ‎5y משני הצדדים.

$$7x+5y=6$$

כדי לפתור באמצעות אלימינציה, המקדמים של אחד מהמשתנים חייבים להיות זהים בשתי המשוואות כדי שהמשתנה יתבטל בעת החסרת משוואה אחת מהשניה.

$$2x+3y=5,7x+5y=6$$

כדי להפוך את ‎2x ו- ‎7x לשווים, הכפל את כל האיברים בכל אגף של המשוואה הראשונה ב- ‎7 ואת כל האיברים בכל אגף של המשוואה השניה ב- ‎2.

$$7\times 2x+7\times 3y=7\times 5,2\times 7x+2\times 5y=2\times 6$$

פשט.

$$14x+21y=35,14x+10y=12$$

החסר את ‎14x+10y=12 מ- ‎14x+21y=35 על-ידי חיסור איברים דומים בכל אחד מהצדדים של סימן השוויון.

$$14x-14x+21y-10y=35-12$$

הוסף את ‎14x ל- ‎-14x. האיברים ‎14x ו- ‎-14x מבטלים זה את זה, ונותרת משוואה שכוללת משתנה אחד בלבד ושניתן לפתור אותה.

$$21y-10y=35-12$$

הוסף את ‎21y ל- ‎-10y.

$$11y=35-12$$

הוסף את ‎35 ל- ‎-12.

$$11y=23$$

חלק את שני האגפים ב- ‎11.

$$y=\frac{23}{11}$$

השתמש ב- ‎\frac{23}{11} במקום y ב- ‎7x+5y=6. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.

$$7x+5\times \frac{23}{11}=6$$

הכפל את ‎5 ב- ‎\frac{23}{11}.

$$7x+\frac{115}{11}=6$$

החסר ‎\frac{115}{11} משני אגפי המשוואה.

$$7x=-\frac{49}{11}$$

חלק את שני האגפים ב- ‎7.

$$x=-\frac{7}{11}$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=-\frac{7}{11},y=\frac{23}{11}$$