פתור את {l}{2x+3y=15}{x+y=6}

$$\left. \begin{array} { l } { 2 x + 3 y = 15 } \\ { x + y = 6 } \end{array} \right.$$

פתור עבור x, y

$$x=3$$

$$y=3$$

שלבים הכוללים שימוש בהחלפה

כדי לפתור זוג משוואות באמצעות החלפה, תחילה פתור אחת מהמשוואות עבור אחד מהמשתנים. לאחר מכן החלף את התוצאה עבור משתנה זה במשוואה השניה.

$$2x+3y=15,x+y=6$$

בחר אחת מהמשוואות ופתור אותה עבור x על-ידי בידוד x בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$2x+3y=15$$

החסר ‎3y משני אגפי המשוואה.

$$2x=-3y+15$$

חלק את שני האגפים ב- ‎2.

$$x=\frac{1}{2}\left(-3y+15\right)$$

הכפל את ‎\frac{1}{2} ב- ‎-3y+15.

$$x=-\frac{3}{2}y+\frac{15}{2}$$

השתמש ב- ‎\frac{-3y+15}{2} במקום ‎x במשוואה השניה, ‎x+y=6.

$$-\frac{3}{2}y+\frac{15}{2}+y=6$$

הוסף את ‎-\frac{3y}{2} ל- ‎y.

$$-\frac{1}{2}y+\frac{15}{2}=6$$

החסר ‎\frac{15}{2} משני אגפי המשוואה.

$$-\frac{1}{2}y=-\frac{3}{2}$$

הכפל את שני האגפים ב- ‎-2.

$$y=3$$

השתמש ב- ‎3 במקום y ב- ‎x=-\frac{3}{2}y+\frac{15}{2}. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.

$$x=-\frac{3}{2}\times 3+\frac{15}{2}$$

הכפל את ‎-\frac{3}{2} ב- ‎3.

$$x=\frac{-9+15}{2}$$

הוסף את ‎\frac{15}{2} ל- ‎-\frac{9}{2} על-ידי מציאת מכנה משותף וחיבור המונים. לאחר מכן צמצם את השבר לאיברים הקטנים ביותר אם הדבר אפשרי.

$$x=3$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=3,y=3$$

שלבים הכוללים שימוש במטריצות

העבר את המשוואות לצורה סטנדרטית ולאחר מכן השתמש במטריצות כדי לפתור את מערכת המשוואות.

$$2x+3y=15,x+y=6$$

כתוב את המשוואות בצורת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}2&3\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}15\\6\end{matrix}\right)$$

הכפל את המשוואה שבצד השמאלי במטריצה ההופכית של \left(\begin{matrix}2&3\\1&1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&3\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}15\\6\end{matrix}\right)$$

המכפלה של מטריצה וההופכי שלה היא מטריצת הזהות.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}15\\6\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}15\\6\end{matrix}\right)$$

עבור המטריצה 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), המטריצה ההפוכה היא \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), כדי שניתן יהיה לכתוב מחדש את משוואת המטריצה כבעיית הכפלת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2-3}&-\frac{3}{2-3}\\-\frac{1}{2-3}&\frac{2}{2-3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}15\\6\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-1&3\\1&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}15\\6\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-15+3\times 6\\15-2\times 6\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3\\3\end{matrix}\right)$$

חלץ את רכיבי המטריצה x ו- y.

$$x=3,y=3$$

שלבים הכוללים שימוש באלימינציה

כדי לפתור באמצעות אלימינציה, המקדמים של אחד מהמשתנים חייבים להיות זהים בשתי המשוואות כדי שהמשתנה יתבטל בעת החסרת משוואה אחת מהשניה.

$$2x+3y=15,x+y=6$$

כדי להפוך את ‎2x ו- ‎x לשווים, הכפל את כל האיברים בכל אגף של המשוואה הראשונה ב- ‎1 ואת כל האיברים בכל אגף של המשוואה השניה ב- ‎2.

$$2x+3y=15,2x+2y=2\times 6$$

פשט.

$$2x+3y=15,2x+2y=12$$

החסר את ‎2x+2y=12 מ- ‎2x+3y=15 על-ידי חיסור איברים דומים בכל אחד מהצדדים של סימן השוויון.

$$2x-2x+3y-2y=15-12$$

הוסף את ‎2x ל- ‎-2x. האיברים ‎2x ו- ‎-2x מבטלים זה את זה, ונותרת משוואה שכוללת משתנה אחד בלבד ושניתן לפתור אותה.

$$3y-2y=15-12$$

הוסף את ‎3y ל- ‎-2y.

$$y=15-12$$

הוסף את ‎15 ל- ‎-12.

$$y=3$$

השתמש ב- ‎3 במקום y ב- ‎x+y=6. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.

$$x+3=6$$

החסר ‎3 משני אגפי המשוואה.

$$x=3$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=3,y=3$$