פתור את {l}{2x+2y=6}{7y-5x=11}

$$\left. \begin{array} { l } { 2 x + 2 y = 6 } \\ { 7 y - 5 x = 11 } \end{array} \right.$$

פתור עבור x, y

$$x=\frac{5}{6}\approx 0.833333333$$

$$y = \frac{13}{6} = 2\frac{1}{6} \approx 2.166666667$$

שלבים הכוללים שימוש בהחלפה

כדי לפתור זוג משוואות באמצעות החלפה, תחילה פתור אחת מהמשוואות עבור אחד מהמשתנים. לאחר מכן החלף את התוצאה עבור משתנה זה במשוואה השניה.

$$2x+2y=6,-5x+7y=11$$

בחר אחת מהמשוואות ופתור אותה עבור x על-ידי בידוד x בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$2x+2y=6$$

החסר ‎2y משני אגפי המשוואה.

$$2x=-2y+6$$

חלק את שני האגפים ב- ‎2.

$$x=\frac{1}{2}\left(-2y+6\right)$$

הכפל את ‎\frac{1}{2} ב- ‎-2y+6.

$$x=-y+3$$

השתמש ב- ‎-y+3 במקום ‎x במשוואה השניה, ‎-5x+7y=11.

$$-5\left(-y+3\right)+7y=11$$

הכפל את ‎-5 ב- ‎-y+3.

$$5y-15+7y=11$$

הוסף את ‎5y ל- ‎7y.

$$12y-15=11$$

הוסף ‎15 לשני אגפי המשוואה.

$$12y=26$$

חלק את שני האגפים ב- ‎12.

$$y=\frac{13}{6}$$

השתמש ב- ‎\frac{13}{6} במקום y ב- ‎x=-y+3. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.

$$x=-\frac{13}{6}+3$$

הוסף את ‎3 ל- ‎-\frac{13}{6}.

$$x=\frac{5}{6}$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=\frac{5}{6},y=\frac{13}{6}$$

שלבים הכוללים שימוש במטריצות

העבר את המשוואות לצורה סטנדרטית ולאחר מכן השתמש במטריצות כדי לפתור את מערכת המשוואות.

$$2x+2y=6,-5x+7y=11$$

כתוב את המשוואות בצורת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}2&2\\-5&7\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}6\\11\end{matrix}\right)$$

הכפל את המשוואה שבצד השמאלי במטריצה ההופכית של \left(\begin{matrix}2&2\\-5&7\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&2\\-5&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&2\\-5&7\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&2\\-5&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\11\end{matrix}\right)$$

המכפלה של מטריצה וההופכי שלה היא מטריצת הזהות.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&2\\-5&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\11\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&2\\-5&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\11\end{matrix}\right)$$

עבור המטריצה 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), המטריצה ההפוכה היא \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), כדי שניתן יהיה לכתוב מחדש את משוואת המטריצה כבעיית הכפלת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{2\times 7-2\left(-5\right)}&-\frac{2}{2\times 7-2\left(-5\right)}\\-\frac{-5}{2\times 7-2\left(-5\right)}&\frac{2}{2\times 7-2\left(-5\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}6\\11\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{24}&-\frac{1}{12}\\\frac{5}{24}&\frac{1}{12}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}6\\11\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{24}\times 6-\frac{1}{12}\times 11\\\frac{5}{24}\times 6+\frac{1}{12}\times 11\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{6}\\\frac{13}{6}\end{matrix}\right)$$

חלץ את רכיבי המטריצה x ו- y.

$$x=\frac{5}{6},y=\frac{13}{6}$$

שלבים הכוללים שימוש באלימינציה

כדי לפתור באמצעות אלימינציה, המקדמים של אחד מהמשתנים חייבים להיות זהים בשתי המשוואות כדי שהמשתנה יתבטל בעת החסרת משוואה אחת מהשניה.

$$2x+2y=6,-5x+7y=11$$

כדי להפוך את ‎2x ו- ‎-5x לשווים, הכפל את כל האיברים בכל אגף של המשוואה הראשונה ב- ‎-5 ואת כל האיברים בכל אגף של המשוואה השניה ב- ‎2.

$$-5\times 2x-5\times 2y=-5\times 6,2\left(-5\right)x+2\times 7y=2\times 11$$

פשט.

$$-10x-10y=-30,-10x+14y=22$$

החסר את ‎-10x+14y=22 מ- ‎-10x-10y=-30 על-ידי חיסור איברים דומים בכל אחד מהצדדים של סימן השוויון.

$$-10x+10x-10y-14y=-30-22$$

הוסף את ‎-10x ל- ‎10x. האיברים ‎-10x ו- ‎10x מבטלים זה את זה, ונותרת משוואה שכוללת משתנה אחד בלבד ושניתן לפתור אותה.

$$-10y-14y=-30-22$$

הוסף את ‎-10y ל- ‎-14y.

$$-24y=-30-22$$

הוסף את ‎-30 ל- ‎-22.

$$-24y=-52$$

חלק את שני האגפים ב- ‎-24.

$$y=\frac{13}{6}$$

השתמש ב- ‎\frac{13}{6} במקום y ב- ‎-5x+7y=11. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.

$$-5x+7\times \frac{13}{6}=11$$

הכפל את ‎7 ב- ‎\frac{13}{6}.

$$-5x+\frac{91}{6}=11$$

החסר ‎\frac{91}{6} משני אגפי המשוואה.

$$-5x=-\frac{25}{6}$$

חלק את שני האגפים ב- ‎-5.

$$x=\frac{5}{6}$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=\frac{5}{6},y=\frac{13}{6}$$