פתור את {l}{2m-3n=1}{m+n=3}

$$\left. \begin{array} { l } { 2 m - 3 n = 1 } \\ { m + n = 3 } \end{array} \right.$$

פתור עבור m, n

$$m=2$$

$$n=1$$

שלבים הכוללים שימוש בהחלפה

כדי לפתור זוג משוואות באמצעות החלפה, תחילה פתור אחת מהמשוואות עבור אחד מהמשתנים. לאחר מכן החלף את התוצאה עבור משתנה זה במשוואה השניה.

$$2m-3n=1,m+n=3$$

בחר אחת מהמשוואות ופתור אותה עבור m על-ידי בידוד m בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$2m-3n=1$$

הוסף ‎3n לשני אגפי המשוואה.

$$2m=3n+1$$

חלק את שני האגפים ב- ‎2.

$$m=\frac{1}{2}\left(3n+1\right)$$

הכפל את ‎\frac{1}{2} ב- ‎3n+1.

$$m=\frac{3}{2}n+\frac{1}{2}$$

השתמש ב- ‎\frac{3n+1}{2} במקום ‎m במשוואה השניה, ‎m+n=3.

$$\frac{3}{2}n+\frac{1}{2}+n=3$$

הוסף את ‎\frac{3n}{2} ל- ‎n.

$$\frac{5}{2}n+\frac{1}{2}=3$$

החסר ‎\frac{1}{2} משני אגפי המשוואה.

$$\frac{5}{2}n=\frac{5}{2}$$

חלק את שני אגפי המשוואה ב- ‎\frac{5}{2}, פעולה הזהה להכפלת שני האגפים בהופכי של השבר.

$$n=1$$

השתמש ב- ‎1 במקום n ב- ‎m=\frac{3}{2}n+\frac{1}{2}. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את m ישירות.

$$m=\frac{3+1}{2}$$

הוסף את ‎\frac{1}{2} ל- ‎\frac{3}{2} על-ידי מציאת מכנה משותף וחיבור המונים. לאחר מכן צמצם את השבר לאיברים הקטנים ביותר אם הדבר אפשרי.

$$m=2$$

המערכת נפתרה כעת.

$$m=2,n=1$$

שלבים הכוללים שימוש במטריצות

העבר את המשוואות לצורה סטנדרטית ולאחר מכן השתמש במטריצות כדי לפתור את מערכת המשוואות.

$$2m-3n=1,m+n=3$$

כתוב את המשוואות בצורת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}2&-3\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\3\end{matrix}\right)$$

הכפל את המשוואה שבצד השמאלי במטריצה ההופכית של \left(\begin{matrix}2&-3\\1&1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&-3\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\3\end{matrix}\right)$$

המכפלה של מטריצה וההופכי שלה היא מטריצת הזהות.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\3\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\3\end{matrix}\right)$$

עבור המטריצה 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), המטריצה ההפוכה היא \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), כדי שניתן יהיה לכתוב מחדש את משוואת המטריצה כבעיית הכפלת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2-\left(-3\right)}&-\frac{-3}{2-\left(-3\right)}\\-\frac{1}{2-\left(-3\right)}&\frac{2}{2-\left(-3\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\3\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{5}&\frac{3}{5}\\-\frac{1}{5}&\frac{2}{5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\3\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות.

$$\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{5}+\frac{3}{5}\times 3\\-\frac{1}{5}+\frac{2}{5}\times 3\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\\1\end{matrix}\right)$$

חלץ את רכיבי המטריצה m ו- n.

$$m=2,n=1$$

שלבים הכוללים שימוש באלימינציה

כדי לפתור באמצעות אלימינציה, המקדמים של אחד מהמשתנים חייבים להיות זהים בשתי המשוואות כדי שהמשתנה יתבטל בעת החסרת משוואה אחת מהשניה.

$$2m-3n=1,m+n=3$$

כדי להפוך את ‎2m ו- ‎m לשווים, הכפל את כל האיברים בכל אגף של המשוואה הראשונה ב- ‎1 ואת כל האיברים בכל אגף של המשוואה השניה ב- ‎2.

$$2m-3n=1,2m+2n=2\times 3$$

פשט.

$$2m-3n=1,2m+2n=6$$

החסר את ‎2m+2n=6 מ- ‎2m-3n=1 על-ידי חיסור איברים דומים בכל אחד מהצדדים של סימן השוויון.

$$2m-2m-3n-2n=1-6$$

הוסף את ‎2m ל- ‎-2m. האיברים ‎2m ו- ‎-2m מבטלים זה את זה, ונותרת משוואה שכוללת משתנה אחד בלבד ושניתן לפתור אותה.

$$-3n-2n=1-6$$

הוסף את ‎-3n ל- ‎-2n.

$$-5n=1-6$$

הוסף את ‎1 ל- ‎-6.

$$-5n=-5$$

חלק את שני האגפים ב- ‎-5.

$$n=1$$

השתמש ב- ‎1 במקום n ב- ‎m+n=3. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את m ישירות.

$$m+1=3$$

החסר ‎1 משני אגפי המשוואה.

$$m=2$$

המערכת נפתרה כעת.

$$m=2,n=1$$