פתור את {l}{2a+b=5}{a+2b=1}

$$\left. \begin{array} { l } { 2 a + b = 5 } \\ { a + 2 b = 1 } \end{array} \right.$$

פתור עבור a, b

$$a=3$$

$$b=-1$$

שלבים הכוללים שימוש בהחלפה

כדי לפתור זוג משוואות באמצעות החלפה, תחילה פתור אחת מהמשוואות עבור אחד מהמשתנים. לאחר מכן החלף את התוצאה עבור משתנה זה במשוואה השניה.

$$2a+b=5,a+2b=1$$

בחר אחת מהמשוואות ופתור אותה עבור a על-ידי בידוד a בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$2a+b=5$$

החסר ‎b משני אגפי המשוואה.

$$2a=-b+5$$

חלק את שני האגפים ב- ‎2.

$$a=\frac{1}{2}\left(-b+5\right)$$

הכפל את ‎\frac{1}{2} ב- ‎-b+5.

$$a=-\frac{1}{2}b+\frac{5}{2}$$

השתמש ב- ‎\frac{-b+5}{2} במקום ‎a במשוואה השניה, ‎a+2b=1.

$$-\frac{1}{2}b+\frac{5}{2}+2b=1$$

הוסף את ‎-\frac{b}{2} ל- ‎2b.

$$\frac{3}{2}b+\frac{5}{2}=1$$

החסר ‎\frac{5}{2} משני אגפי המשוואה.

$$\frac{3}{2}b=-\frac{3}{2}$$

חלק את שני אגפי המשוואה ב- ‎\frac{3}{2}, פעולה הזהה להכפלת שני האגפים בהופכי של השבר.

$$b=-1$$

השתמש ב- ‎-1 במקום b ב- ‎a=-\frac{1}{2}b+\frac{5}{2}. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את a ישירות.

$$a=-\frac{1}{2}\left(-1\right)+\frac{5}{2}$$

הכפל את ‎-\frac{1}{2} ב- ‎-1.

$$a=\frac{1+5}{2}$$

הוסף את ‎\frac{5}{2} ל- ‎\frac{1}{2} על-ידי מציאת מכנה משותף וחיבור המונים. לאחר מכן צמצם את השבר לאיברים הקטנים ביותר אם הדבר אפשרי.

$$a=3$$

המערכת נפתרה כעת.

$$a=3,b=-1$$

שלבים הכוללים שימוש במטריצות

העבר את המשוואות לצורה סטנדרטית ולאחר מכן השתמש במטריצות כדי לפתור את מערכת המשוואות.

$$2a+b=5,a+2b=1$$

כתוב את המשוואות בצורת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}2&1\\1&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\1\end{matrix}\right)$$

הכפל את המשוואה שבצד השמאלי במטריצה ההופכית של \left(\begin{matrix}2&1\\1&2\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&1\\1&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\1\end{matrix}\right)$$

המכפלה של מטריצה וההופכי שלה היא מטריצת הזהות.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\1\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\1\end{matrix}\right)$$

עבור המטריצה 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), המטריצה ההפוכה היא \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), כדי שניתן יהיה לכתוב מחדש את משוואת המטריצה כבעיית הכפלת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{2\times 2-1}&-\frac{1}{2\times 2-1}\\-\frac{1}{2\times 2-1}&\frac{2}{2\times 2-1}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\1\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{3}&-\frac{1}{3}\\-\frac{1}{3}&\frac{2}{3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\1\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{3}\times 5-\frac{1}{3}\\-\frac{1}{3}\times 5+\frac{2}{3}\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3\\-1\end{matrix}\right)$$

חלץ את רכיבי המטריצה a ו- b.

$$a=3,b=-1$$

שלבים הכוללים שימוש באלימינציה

כדי לפתור באמצעות אלימינציה, המקדמים של אחד מהמשתנים חייבים להיות זהים בשתי המשוואות כדי שהמשתנה יתבטל בעת החסרת משוואה אחת מהשניה.

$$2a+b=5,a+2b=1$$

כדי להפוך את ‎2a ו- ‎a לשווים, הכפל את כל האיברים בכל אגף של המשוואה הראשונה ב- ‎1 ואת כל האיברים בכל אגף של המשוואה השניה ב- ‎2.

$$2a+b=5,2a+2\times 2b=2$$

פשט.

$$2a+b=5,2a+4b=2$$

החסר את ‎2a+4b=2 מ- ‎2a+b=5 על-ידי חיסור איברים דומים בכל אחד מהצדדים של סימן השוויון.

$$2a-2a+b-4b=5-2$$

הוסף את ‎2a ל- ‎-2a. האיברים ‎2a ו- ‎-2a מבטלים זה את זה, ונותרת משוואה שכוללת משתנה אחד בלבד ושניתן לפתור אותה.

$$b-4b=5-2$$

הוסף את ‎b ל- ‎-4b.

$$-3b=5-2$$

הוסף את ‎5 ל- ‎-2.

$$-3b=3$$

חלק את שני האגפים ב- ‎-3.

$$b=-1$$

השתמש ב- ‎-1 במקום b ב- ‎a+2b=1. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את a ישירות.

$$a+2\left(-1\right)=1$$

הכפל את ‎2 ב- ‎-1.

$$a-2=1$$

הוסף ‎2 לשני אגפי המשוואה.

$$a=3$$

המערכת נפתרה כעת.

$$a=3,b=-1$$