פתור את {l}{18x-14y=-5}{18x+2y=-20}

$$\left. \begin{array} { l } { 18 x - 14 y = - 5 } \\ { 18 x + 2 y = - 20 } \end{array} \right.$$

פתור עבור x, y

$$x = -\frac{145}{144} = -1\frac{1}{144} \approx -1.006944444$$

$$y=-\frac{15}{16}=-0.9375$$

שלבים הכוללים שימוש בהחלפה

כדי לפתור זוג משוואות באמצעות החלפה, תחילה פתור אחת מהמשוואות עבור אחד מהמשתנים. לאחר מכן החלף את התוצאה עבור משתנה זה במשוואה השניה.

$$18x-14y=-5,18x+2y=-20$$

בחר אחת מהמשוואות ופתור אותה עבור x על-ידי בידוד x בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$18x-14y=-5$$

הוסף ‎14y לשני אגפי המשוואה.

$$18x=14y-5$$

חלק את שני האגפים ב- ‎18.

$$x=\frac{1}{18}\left(14y-5\right)$$

הכפל את ‎\frac{1}{18} ב- ‎14y-5.

$$x=\frac{7}{9}y-\frac{5}{18}$$

השתמש ב- ‎\frac{7y}{9}-\frac{5}{18} במקום ‎x במשוואה השניה, ‎18x+2y=-20.

$$18\left(\frac{7}{9}y-\frac{5}{18}\right)+2y=-20$$

הכפל את ‎18 ב- ‎\frac{7y}{9}-\frac{5}{18}.

$$14y-5+2y=-20$$

הוסף את ‎14y ל- ‎2y.

$$16y-5=-20$$

הוסף ‎5 לשני אגפי המשוואה.

$$16y=-15$$

חלק את שני האגפים ב- ‎16.

$$y=-\frac{15}{16}$$

השתמש ב- ‎-\frac{15}{16} במקום y ב- ‎x=\frac{7}{9}y-\frac{5}{18}. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.

$$x=\frac{7}{9}\left(-\frac{15}{16}\right)-\frac{5}{18}$$

הכפל את ‎\frac{7}{9} ב- ‎-\frac{15}{16} על-ידי הכפלת המונה במונה והמכנה במכנה. לאחר מכן צמצם את השבר לאיברים הקטנים ביותר אם הדבר אפשרי.

$$x=-\frac{35}{48}-\frac{5}{18}$$

הוסף את ‎-\frac{5}{18} ל- ‎-\frac{35}{48} על-ידי מציאת מכנה משותף וחיבור המונים. לאחר מכן צמצם את השבר לאיברים הקטנים ביותר אם הדבר אפשרי.

$$x=-\frac{145}{144}$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=-\frac{145}{144},y=-\frac{15}{16}$$

שלבים הכוללים שימוש במטריצות

העבר את המשוואות לצורה סטנדרטית ולאחר מכן השתמש במטריצות כדי לפתור את מערכת המשוואות.

$$18x-14y=-5,18x+2y=-20$$

כתוב את המשוואות בצורת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}18&-14\\18&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-5\\-20\end{matrix}\right)$$

הכפל את המשוואה שבצד השמאלי במטריצה ההופכית של \left(\begin{matrix}18&-14\\18&2\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}18&-14\\18&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}18&-14\\18&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}18&-14\\18&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-5\\-20\end{matrix}\right)$$

המכפלה של מטריצה וההופכי שלה היא מטריצת הזהות.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}18&-14\\18&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-5\\-20\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}18&-14\\18&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-5\\-20\end{matrix}\right)$$

עבור המטריצה 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), המטריצה ההפוכה היא \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), כדי שניתן יהיה לכתוב מחדש את משוואת המטריצה כבעיית הכפלת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{18\times 2-\left(-14\times 18\right)}&-\frac{-14}{18\times 2-\left(-14\times 18\right)}\\-\frac{18}{18\times 2-\left(-14\times 18\right)}&\frac{18}{18\times 2-\left(-14\times 18\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-5\\-20\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{144}&\frac{7}{144}\\-\frac{1}{16}&\frac{1}{16}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-5\\-20\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{144}\left(-5\right)+\frac{7}{144}\left(-20\right)\\-\frac{1}{16}\left(-5\right)+\frac{1}{16}\left(-20\right)\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{145}{144}\\-\frac{15}{16}\end{matrix}\right)$$

חלץ את רכיבי המטריצה x ו- y.

$$x=-\frac{145}{144},y=-\frac{15}{16}$$

שלבים הכוללים שימוש באלימינציה

כדי לפתור באמצעות אלימינציה, המקדמים של אחד מהמשתנים חייבים להיות זהים בשתי המשוואות כדי שהמשתנה יתבטל בעת החסרת משוואה אחת מהשניה.

$$18x-14y=-5,18x+2y=-20$$

החסר את ‎18x+2y=-20 מ- ‎18x-14y=-5 על-ידי חיסור איברים דומים בכל אחד מהצדדים של סימן השוויון.

$$18x-18x-14y-2y=-5+20$$

הוסף את ‎18x ל- ‎-18x. האיברים ‎18x ו- ‎-18x מבטלים זה את זה, ונותרת משוואה שכוללת משתנה אחד בלבד ושניתן לפתור אותה.

$$-14y-2y=-5+20$$

הוסף את ‎-14y ל- ‎-2y.

$$-16y=-5+20$$

הוסף את ‎-5 ל- ‎20.

$$-16y=15$$

חלק את שני האגפים ב- ‎-16.

$$y=-\frac{15}{16}$$

השתמש ב- ‎-\frac{15}{16} במקום y ב- ‎18x+2y=-20. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.

$$18x+2\left(-\frac{15}{16}\right)=-20$$

הכפל את ‎2 ב- ‎-\frac{15}{16}.

$$18x-\frac{15}{8}=-20$$

הוסף ‎\frac{15}{8} לשני אגפי המשוואה.

$$18x=-\frac{145}{8}$$

חלק את שני האגפים ב- ‎18.

$$x=-\frac{145}{144}$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=-\frac{145}{144},y=-\frac{15}{16}$$