פתור את {l}{12x-5y=40}{12x-11y=88}

$$\left. \begin{array} { l } { 12 x - 5 y = 40 } \\ { 12 x - 11 y = 88 } \end{array} \right.$$

פתור עבור x, y

$$x=0$$

$$y=-8$$

שלבים הכוללים שימוש בהחלפה

כדי לפתור זוג משוואות באמצעות החלפה, תחילה פתור אחת מהמשוואות עבור אחד מהמשתנים. לאחר מכן החלף את התוצאה עבור משתנה זה במשוואה השניה.

$$12x-5y=40,12x-11y=88$$

בחר אחת מהמשוואות ופתור אותה עבור x על-ידי בידוד x בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$12x-5y=40$$

הוסף ‎5y לשני אגפי המשוואה.

$$12x=5y+40$$

חלק את שני האגפים ב- ‎12.

$$x=\frac{1}{12}\left(5y+40\right)$$

הכפל את ‎\frac{1}{12} ב- ‎40+5y.

$$x=\frac{5}{12}y+\frac{10}{3}$$

השתמש ב- ‎\frac{10}{3}+\frac{5y}{12} במקום ‎x במשוואה השניה, ‎12x-11y=88.

$$12\left(\frac{5}{12}y+\frac{10}{3}\right)-11y=88$$

הכפל את ‎12 ב- ‎\frac{10}{3}+\frac{5y}{12}.

$$5y+40-11y=88$$

הוסף את ‎5y ל- ‎-11y.

$$-6y+40=88$$

החסר ‎40 משני אגפי המשוואה.

$$-6y=48$$

חלק את שני האגפים ב- ‎-6.

$$y=-8$$

השתמש ב- ‎-8 במקום y ב- ‎x=\frac{5}{12}y+\frac{10}{3}. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.

$$x=\frac{5}{12}\left(-8\right)+\frac{10}{3}$$

הכפל את ‎\frac{5}{12} ב- ‎-8.

$$x=\frac{-10+10}{3}$$

הוסף את ‎\frac{10}{3} ל- ‎-\frac{10}{3} על-ידי מציאת מכנה משותף וחיבור המונים. לאחר מכן צמצם את השבר לאיברים הקטנים ביותר אם הדבר אפשרי.

$$x=0$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=0,y=-8$$

שלבים הכוללים שימוש במטריצות

העבר את המשוואות לצורה סטנדרטית ולאחר מכן השתמש במטריצות כדי לפתור את מערכת המשוואות.

$$12x-5y=40,12x-11y=88$$

כתוב את המשוואות בצורת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}12&-5\\12&-11\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}40\\88\end{matrix}\right)$$

הכפל את המשוואה שבצד השמאלי במטריצה ההופכית של \left(\begin{matrix}12&-5\\12&-11\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}12&-5\\12&-11\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}12&-5\\12&-11\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}12&-5\\12&-11\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}40\\88\end{matrix}\right)$$

המכפלה של מטריצה וההופכי שלה היא מטריצת הזהות.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}12&-5\\12&-11\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}40\\88\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}12&-5\\12&-11\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}40\\88\end{matrix}\right)$$

עבור המטריצה 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), המטריצה ההפוכה היא \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), כדי שניתן יהיה לכתוב מחדש את משוואת המטריצה כבעיית הכפלת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{11}{12\left(-11\right)-\left(-5\times 12\right)}&-\frac{-5}{12\left(-11\right)-\left(-5\times 12\right)}\\-\frac{12}{12\left(-11\right)-\left(-5\times 12\right)}&\frac{12}{12\left(-11\right)-\left(-5\times 12\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}40\\88\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{11}{72}&-\frac{5}{72}\\\frac{1}{6}&-\frac{1}{6}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}40\\88\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{11}{72}\times 40-\frac{5}{72}\times 88\\\frac{1}{6}\times 40-\frac{1}{6}\times 88\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}0\\-8\end{matrix}\right)$$

חלץ את רכיבי המטריצה x ו- y.

$$x=0,y=-8$$

שלבים הכוללים שימוש באלימינציה

כדי לפתור באמצעות אלימינציה, המקדמים של אחד מהמשתנים חייבים להיות זהים בשתי המשוואות כדי שהמשתנה יתבטל בעת החסרת משוואה אחת מהשניה.

$$12x-5y=40,12x-11y=88$$

החסר את ‎12x-11y=88 מ- ‎12x-5y=40 על-ידי חיסור איברים דומים בכל אחד מהצדדים של סימן השוויון.

$$12x-12x-5y+11y=40-88$$

הוסף את ‎12x ל- ‎-12x. האיברים ‎12x ו- ‎-12x מבטלים זה את זה, ונותרת משוואה שכוללת משתנה אחד בלבד ושניתן לפתור אותה.

$$-5y+11y=40-88$$

הוסף את ‎-5y ל- ‎11y.

$$6y=40-88$$

הוסף את ‎40 ל- ‎-88.

$$6y=-48$$

חלק את שני האגפים ב- ‎6.

$$y=-8$$

השתמש ב- ‎-8 במקום y ב- ‎12x-11y=88. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.

$$12x-11\left(-8\right)=88$$

הכפל את ‎-11 ב- ‎-8.

$$12x+88=88$$

החסר ‎88 משני אגפי המשוואה.

$$12x=0$$

חלק את שני האגפים ב- ‎12.

$$x=0$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=0,y=-8$$