פתור את {l}{11x+5y=7}{6x+3y=21}

$$\left. \begin{array} { l } { 11 x + 5 y = 7 } \\ { 6 x + 3 y = 21 } \end{array} \right.$$

פתור עבור x, y

$$x=-28$$

$$y=63$$

שלבים הכוללים שימוש בהחלפה

כדי לפתור זוג משוואות באמצעות החלפה, תחילה פתור אחת מהמשוואות עבור אחד מהמשתנים. לאחר מכן החלף את התוצאה עבור משתנה זה במשוואה השניה.

$$11x+5y=7,6x+3y=21$$

בחר אחת מהמשוואות ופתור אותה עבור x על-ידי בידוד x בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$11x+5y=7$$

החסר ‎5y משני אגפי המשוואה.

$$11x=-5y+7$$

חלק את שני האגפים ב- ‎11.

$$x=\frac{1}{11}\left(-5y+7\right)$$

הכפל את ‎\frac{1}{11} ב- ‎-5y+7.

$$x=-\frac{5}{11}y+\frac{7}{11}$$

השתמש ב- ‎\frac{-5y+7}{11} במקום ‎x במשוואה השניה, ‎6x+3y=21.

$$6\left(-\frac{5}{11}y+\frac{7}{11}\right)+3y=21$$

הכפל את ‎6 ב- ‎\frac{-5y+7}{11}.

$$-\frac{30}{11}y+\frac{42}{11}+3y=21$$

הוסף את ‎-\frac{30y}{11} ל- ‎3y.

$$\frac{3}{11}y+\frac{42}{11}=21$$

החסר ‎\frac{42}{11} משני אגפי המשוואה.

$$\frac{3}{11}y=\frac{189}{11}$$

חלק את שני אגפי המשוואה ב- ‎\frac{3}{11}, פעולה הזהה להכפלת שני האגפים בהופכי של השבר.

$$y=63$$

השתמש ב- ‎63 במקום y ב- ‎x=-\frac{5}{11}y+\frac{7}{11}. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.

$$x=-\frac{5}{11}\times 63+\frac{7}{11}$$

הכפל את ‎-\frac{5}{11} ב- ‎63.

$$x=\frac{-315+7}{11}$$

הוסף את ‎\frac{7}{11} ל- ‎-\frac{315}{11} על-ידי מציאת מכנה משותף וחיבור המונים. לאחר מכן צמצם את השבר לאיברים הקטנים ביותר אם הדבר אפשרי.

$$x=-28$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=-28,y=63$$

שלבים הכוללים שימוש במטריצות

העבר את המשוואות לצורה סטנדרטית ולאחר מכן השתמש במטריצות כדי לפתור את מערכת המשוואות.

$$11x+5y=7,6x+3y=21$$

כתוב את המשוואות בצורת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}11&5\\6&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}7\\21\end{matrix}\right)$$

הכפל את המשוואה שבצד השמאלי במטריצה ההופכית של \left(\begin{matrix}11&5\\6&3\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}11&5\\6&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}11&5\\6&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}11&5\\6&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\21\end{matrix}\right)$$

המכפלה של מטריצה וההופכי שלה היא מטריצת הזהות.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}11&5\\6&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\21\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}11&5\\6&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\21\end{matrix}\right)$$

עבור המטריצה 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), המטריצה ההפוכה היא \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), כדי שניתן יהיה לכתוב מחדש את משוואת המטריצה כבעיית הכפלת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{11\times 3-5\times 6}&-\frac{5}{11\times 3-5\times 6}\\-\frac{6}{11\times 3-5\times 6}&\frac{11}{11\times 3-5\times 6}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}7\\21\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1&-\frac{5}{3}\\-2&\frac{11}{3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}7\\21\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}7-\frac{5}{3}\times 21\\-2\times 7+\frac{11}{3}\times 21\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-28\\63\end{matrix}\right)$$

חלץ את רכיבי המטריצה x ו- y.

$$x=-28,y=63$$

שלבים הכוללים שימוש באלימינציה

כדי לפתור באמצעות אלימינציה, המקדמים של אחד מהמשתנים חייבים להיות זהים בשתי המשוואות כדי שהמשתנה יתבטל בעת החסרת משוואה אחת מהשניה.

$$11x+5y=7,6x+3y=21$$

כדי להפוך את ‎11x ו- ‎6x לשווים, הכפל את כל האיברים בכל אגף של המשוואה הראשונה ב- ‎6 ואת כל האיברים בכל אגף של המשוואה השניה ב- ‎11.

$$6\times 11x+6\times 5y=6\times 7,11\times 6x+11\times 3y=11\times 21$$

פשט.

$$66x+30y=42,66x+33y=231$$

החסר את ‎66x+33y=231 מ- ‎66x+30y=42 על-ידי חיסור איברים דומים בכל אחד מהצדדים של סימן השוויון.

$$66x-66x+30y-33y=42-231$$

הוסף את ‎66x ל- ‎-66x. האיברים ‎66x ו- ‎-66x מבטלים זה את זה, ונותרת משוואה שכוללת משתנה אחד בלבד ושניתן לפתור אותה.

$$30y-33y=42-231$$

הוסף את ‎30y ל- ‎-33y.

$$-3y=42-231$$

הוסף את ‎42 ל- ‎-231.

$$-3y=-189$$

חלק את שני האגפים ב- ‎-3.

$$y=63$$

השתמש ב- ‎63 במקום y ב- ‎6x+3y=21. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.

$$6x+3\times 63=21$$

הכפל את ‎3 ב- ‎63.

$$6x+189=21$$

החסר ‎189 משני אגפי המשוואה.

$$6x=-168$$

חלק את שני האגפים ב- ‎6.

$$x=-28$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=-28,y=63$$