פתור את {l}{1=2r-3s}{4=3r+2s}

$$\left. \begin{array} { l } { 1 = 2 r - 3 s } \\ { 4 = 3 r + 2 s } \end{array} \right.$$

פתור עבור r, s

$$r = \frac{14}{13} = 1\frac{1}{13} \approx 1.076923077$$

$$s=\frac{5}{13}\approx 0.384615385$$

שלבים הכוללים שימוש בהחלפה

שקול את המשוואה הראשונה. החלף בין הצדדים כך שכל איברי המשתנים יופיעו בצד השמאלי.

$$2r-3s=1$$

שקול את המשוואה השניה. החלף בין הצדדים כך שכל איברי המשתנים יופיעו בצד השמאלי.

$$3r+2s=4$$

כדי לפתור זוג משוואות באמצעות החלפה, תחילה פתור אחת מהמשוואות עבור אחד מהמשתנים. לאחר מכן החלף את התוצאה עבור משתנה זה במשוואה השניה.

$$2r-3s=1,3r+2s=4$$

בחר אחת מהמשוואות ופתור אותה עבור r על-ידי בידוד r בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$2r-3s=1$$

הוסף ‎3s לשני אגפי המשוואה.

$$2r=3s+1$$

חלק את שני האגפים ב- ‎2.

$$r=\frac{1}{2}\left(3s+1\right)$$

הכפל את ‎\frac{1}{2} ב- ‎3s+1.

$$r=\frac{3}{2}s+\frac{1}{2}$$

השתמש ב- ‎\frac{3s+1}{2} במקום ‎r במשוואה השניה, ‎3r+2s=4.

$$3\left(\frac{3}{2}s+\frac{1}{2}\right)+2s=4$$

הכפל את ‎3 ב- ‎\frac{3s+1}{2}.

$$\frac{9}{2}s+\frac{3}{2}+2s=4$$

הוסף את ‎\frac{9s}{2} ל- ‎2s.

$$\frac{13}{2}s+\frac{3}{2}=4$$

החסר ‎\frac{3}{2} משני אגפי המשוואה.

$$\frac{13}{2}s=\frac{5}{2}$$

חלק את שני אגפי המשוואה ב- ‎\frac{13}{2}, פעולה הזהה להכפלת שני האגפים בהופכי של השבר.

$$s=\frac{5}{13}$$

השתמש ב- ‎\frac{5}{13} במקום s ב- ‎r=\frac{3}{2}s+\frac{1}{2}. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את r ישירות.

$$r=\frac{3}{2}\times \frac{5}{13}+\frac{1}{2}$$

הכפל את ‎\frac{3}{2} ב- ‎\frac{5}{13} על-ידי הכפלת המונה במונה והמכנה במכנה. לאחר מכן צמצם את השבר לאיברים הקטנים ביותר אם הדבר אפשרי.

$$r=\frac{15}{26}+\frac{1}{2}$$

הוסף את ‎\frac{1}{2} ל- ‎\frac{15}{26} על-ידי מציאת מכנה משותף וחיבור המונים. לאחר מכן צמצם את השבר לאיברים הקטנים ביותר אם הדבר אפשרי.

$$r=\frac{14}{13}$$

המערכת נפתרה כעת.

$$r=\frac{14}{13},s=\frac{5}{13}$$

שלבים הכוללים שימוש במטריצות

שקול את המשוואה הראשונה. החלף בין הצדדים כך שכל איברי המשתנים יופיעו בצד השמאלי.

$$2r-3s=1$$

שקול את המשוואה השניה. החלף בין הצדדים כך שכל איברי המשתנים יופיעו בצד השמאלי.

$$3r+2s=4$$

העבר את המשוואות לצורה סטנדרטית ולאחר מכן השתמש במטריצות כדי לפתור את מערכת המשוואות.

$$2r-3s=1,3r+2s=4$$

כתוב את המשוואות בצורת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}2&-3\\3&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}r\\s\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\4\end{matrix}\right)$$

הכפל את המשוואה שבצד השמאלי במטריצה ההופכית של \left(\begin{matrix}2&-3\\3&2\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&-3\\3&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}r\\s\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\4\end{matrix}\right)$$

המכפלה של מטריצה וההופכי שלה היא מטריצת הזהות.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}r\\s\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\4\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$\left(\begin{matrix}r\\s\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\4\end{matrix}\right)$$

עבור המטריצה 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), המטריצה ההפוכה היא \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), כדי שניתן יהיה לכתוב מחדש את משוואת המטריצה כבעיית הכפלת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}r\\s\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{2\times 2-\left(-3\times 3\right)}&-\frac{-3}{2\times 2-\left(-3\times 3\right)}\\-\frac{3}{2\times 2-\left(-3\times 3\right)}&\frac{2}{2\times 2-\left(-3\times 3\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\4\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}r\\s\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{13}&\frac{3}{13}\\-\frac{3}{13}&\frac{2}{13}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\4\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות.

$$\left(\begin{matrix}r\\s\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{13}+\frac{3}{13}\times 4\\-\frac{3}{13}+\frac{2}{13}\times 4\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}r\\s\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{14}{13}\\\frac{5}{13}\end{matrix}\right)$$

חלץ את רכיבי המטריצה r ו- s.

$$r=\frac{14}{13},s=\frac{5}{13}$$

שלבים הכוללים שימוש באלימינציה

שקול את המשוואה הראשונה. החלף בין הצדדים כך שכל איברי המשתנים יופיעו בצד השמאלי.

$$2r-3s=1$$

שקול את המשוואה השניה. החלף בין הצדדים כך שכל איברי המשתנים יופיעו בצד השמאלי.

$$3r+2s=4$$

כדי לפתור באמצעות אלימינציה, המקדמים של אחד מהמשתנים חייבים להיות זהים בשתי המשוואות כדי שהמשתנה יתבטל בעת החסרת משוואה אחת מהשניה.

$$2r-3s=1,3r+2s=4$$

כדי להפוך את ‎2r ו- ‎3r לשווים, הכפל את כל האיברים בכל אגף של המשוואה הראשונה ב- ‎3 ואת כל האיברים בכל אגף של המשוואה השניה ב- ‎2.

$$3\times 2r+3\left(-3\right)s=3,2\times 3r+2\times 2s=2\times 4$$

פשט.

$$6r-9s=3,6r+4s=8$$

החסר את ‎6r+4s=8 מ- ‎6r-9s=3 על-ידי חיסור איברים דומים בכל אחד מהצדדים של סימן השוויון.

$$6r-6r-9s-4s=3-8$$

הוסף את ‎6r ל- ‎-6r. האיברים ‎6r ו- ‎-6r מבטלים זה את זה, ונותרת משוואה שכוללת משתנה אחד בלבד ושניתן לפתור אותה.

$$-9s-4s=3-8$$

הוסף את ‎-9s ל- ‎-4s.

$$-13s=3-8$$

הוסף את ‎3 ל- ‎-8.

$$-13s=-5$$

חלק את שני האגפים ב- ‎-13.

$$s=\frac{5}{13}$$

השתמש ב- ‎\frac{5}{13} במקום s ב- ‎3r+2s=4. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את r ישירות.

$$3r+2\times \frac{5}{13}=4$$

הכפל את ‎2 ב- ‎\frac{5}{13}.

$$3r+\frac{10}{13}=4$$

החסר ‎\frac{10}{13} משני אגפי המשוואה.

$$3r=\frac{42}{13}$$

חלק את שני האגפים ב- ‎3.

$$r=\frac{14}{13}$$

המערכת נפתרה כעת.

$$r=\frac{14}{13},s=\frac{5}{13}$$