פתור את {l}{0.4x+0.3y=1.7}{0.7x-0.2y=0.8}

$$\left. \begin{array} { l } { 0.4 x + 0.3 y = 1.7 } \\ { 0.7 x - 0.2 y = 0.8 } \end{array} \right.$$

פתור עבור x, y

$$x=2$$

$$y=3$$

שלבים הכוללים שימוש בהחלפה

כדי לפתור זוג משוואות באמצעות החלפה, תחילה פתור אחת מהמשוואות עבור אחד מהמשתנים. לאחר מכן החלף את התוצאה עבור משתנה זה במשוואה השניה.

$$0.4x+0.3y=1.7,0.7x-0.2y=0.8$$

בחר אחת מהמשוואות ופתור אותה עבור x על-ידי בידוד x בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$0.4x+0.3y=1.7$$

החסר ‎\frac{3y}{10} משני אגפי המשוואה.

$$0.4x=-0.3y+1.7$$

חלק את שני אגפי המשוואה ב- ‎0.4, פעולה הזהה להכפלת שני האגפים בהופכי של השבר.

$$x=2.5\left(-0.3y+1.7\right)$$

הכפל את ‎2.5 ב- ‎\frac{-3y+17}{10}.

$$x=-0.75y+4.25$$

השתמש ב- ‎\frac{-3y+17}{4} במקום ‎x במשוואה השניה, ‎0.7x-0.2y=0.8.

$$0.7\left(-0.75y+4.25\right)-0.2y=0.8$$

הכפל את ‎0.7 ב- ‎\frac{-3y+17}{4}.

$$-0.525y+2.975-0.2y=0.8$$

הוסף את ‎-\frac{21y}{40} ל- ‎-\frac{y}{5}.

$$-0.725y+2.975=0.8$$

החסר ‎2.975 משני אגפי המשוואה.

$$-0.725y=-2.175$$

חלק את שני אגפי המשוואה ב- ‎-0.725, פעולה הזהה להכפלת שני האגפים בהופכי של השבר.

$$y=3$$

השתמש ב- ‎3 במקום y ב- ‎x=-0.75y+4.25. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.

$$x=-0.75\times 3+4.25$$

הכפל את ‎-0.75 ב- ‎3.

$$x=\frac{-9+17}{4}$$

הוסף את ‎4.25 ל- ‎-2.25 על-ידי מציאת מכנה משותף וחיבור המונים. לאחר מכן צמצם את השבר לאיברים הקטנים ביותר אם הדבר אפשרי.

$$x=2$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=2,y=3$$

שלבים הכוללים שימוש במטריצות

העבר את המשוואות לצורה סטנדרטית ולאחר מכן השתמש במטריצות כדי לפתור את מערכת המשוואות.

$$0.4x+0.3y=1.7,0.7x-0.2y=0.8$$

כתוב את המשוואות בצורת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}0.4&0.3\\0.7&-0.2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1.7\\0.8\end{matrix}\right)$$

הכפל את המשוואה שבצד השמאלי במטריצה ההופכית של \left(\begin{matrix}0.4&0.3\\0.7&-0.2\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}0.4&0.3\\0.7&-0.2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0.4&0.3\\0.7&-0.2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}0.4&0.3\\0.7&-0.2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1.7\\0.8\end{matrix}\right)$$

המכפלה של מטריצה וההופכי שלה היא מטריצת הזהות.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}0.4&0.3\\0.7&-0.2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1.7\\0.8\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}0.4&0.3\\0.7&-0.2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1.7\\0.8\end{matrix}\right)$$

עבור המטריצה 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), המטריצה ההפוכה היא \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), כדי שניתן יהיה לכתוב מחדש את משוואת המטריצה כבעיית הכפלת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{0.2}{0.4\left(-0.2\right)-0.3\times 0.7}&-\frac{0.3}{0.4\left(-0.2\right)-0.3\times 0.7}\\-\frac{0.7}{0.4\left(-0.2\right)-0.3\times 0.7}&\frac{0.4}{0.4\left(-0.2\right)-0.3\times 0.7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1.7\\0.8\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{20}{29}&\frac{30}{29}\\\frac{70}{29}&-\frac{40}{29}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1.7\\0.8\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{20}{29}\times 1.7+\frac{30}{29}\times 0.8\\\frac{70}{29}\times 1.7-\frac{40}{29}\times 0.8\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\\3\end{matrix}\right)$$

חלץ את רכיבי המטריצה x ו- y.

$$x=2,y=3$$

שלבים הכוללים שימוש באלימינציה

כדי לפתור באמצעות אלימינציה, המקדמים של אחד מהמשתנים חייבים להיות זהים בשתי המשוואות כדי שהמשתנה יתבטל בעת החסרת משוואה אחת מהשניה.

$$0.4x+0.3y=1.7,0.7x-0.2y=0.8$$

כדי להפוך את ‎\frac{2x}{5} ו- ‎\frac{7x}{10} לשווים, הכפל את כל האיברים בכל אגף של המשוואה הראשונה ב- ‎0.7 ואת כל האיברים בכל אגף של המשוואה השניה ב- ‎0.4.

$$0.7\times 0.4x+0.7\times 0.3y=0.7\times 1.7,0.4\times 0.7x+0.4\left(-0.2\right)y=0.4\times 0.8$$

פשט.

$$0.28x+0.21y=1.19,0.28x-0.08y=0.32$$

החסר את ‎0.28x-0.08y=0.32 מ- ‎0.28x+0.21y=1.19 על-ידי חיסור איברים דומים בכל אחד מהצדדים של סימן השוויון.

$$0.28x-0.28x+0.21y+0.08y=1.19-0.32$$

הוסף את ‎\frac{7x}{25} ל- ‎-\frac{7x}{25}. האיברים ‎\frac{7x}{25} ו- ‎-\frac{7x}{25} מבטלים זה את זה, ונותרת משוואה שכוללת משתנה אחד בלבד ושניתן לפתור אותה.

$$0.21y+0.08y=1.19-0.32$$

הוסף את ‎\frac{21y}{100} ל- ‎\frac{2y}{25}.

$$0.29y=1.19-0.32$$

הוסף את ‎1.19 ל- ‎-0.32 על-ידי מציאת מכנה משותף וחיבור המונים. לאחר מכן צמצם את השבר לאיברים הקטנים ביותר אם הדבר אפשרי.

$$0.29y=0.87$$

חלק את שני אגפי המשוואה ב- ‎0.29, פעולה הזהה להכפלת שני האגפים בהופכי של השבר.

$$y=3$$

השתמש ב- ‎3 במקום y ב- ‎0.7x-0.2y=0.8. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.

$$0.7x-0.2\times 3=0.8$$

הכפל את ‎-0.2 ב- ‎3.

$$0.7x-0.6=0.8$$

הוסף ‎0.6 לשני אגפי המשוואה.

$$0.7x=1.4$$

חלק את שני אגפי המשוואה ב- ‎0.7, פעולה הזהה להכפלת שני האגפים בהופכי של השבר.

$$x=2$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=2,y=3$$