פתור את {l}{0.04x+0.02y=5}{0.5(x-2)-0.4y=29}

$$\left. \begin{array} { l } { 0.04 x + 0.02 y = 5 } \\ { 0.5 ( x - 2 ) - 0.4 y = 29 } \end{array} \right.$$

פתור עבור x, y

$$x=100$$

$$y=50$$

שלבים הכוללים שימוש בהחלפה

כדי לפתור זוג משוואות באמצעות החלפה, תחילה פתור אחת מהמשוואות עבור אחד מהמשתנים. לאחר מכן החלף את התוצאה עבור משתנה זה במשוואה השניה.

$$0.04x+0.02y=5,0.5\left(x-2\right)-0.4y=29$$

בחר אחת מהמשוואות ופתור אותה עבור x על-ידי בידוד x בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$0.04x+0.02y=5$$

החסר ‎\frac{y}{50} משני אגפי המשוואה.

$$0.04x=-0.02y+5$$

הכפל את שני האגפים ב- ‎25.

$$x=25\left(-0.02y+5\right)$$

הכפל את ‎25 ב- ‎-\frac{y}{50}+5.

$$x=-0.5y+125$$

השתמש ב- ‎-\frac{y}{2}+125 במקום ‎x במשוואה השניה, ‎0.5\left(x-2\right)-0.4y=29.

$$0.5\left(-0.5y+125-2\right)-0.4y=29$$

הוסף את ‎125 ל- ‎-2.

$$0.5\left(-0.5y+123\right)-0.4y=29$$

הכפל את ‎0.5 ב- ‎-\frac{y}{2}+123.

$$-0.25y+61.5-0.4y=29$$

הוסף את ‎-\frac{y}{4} ל- ‎-\frac{2y}{5}.

$$-0.65y+61.5=29$$

החסר ‎61.5 משני אגפי המשוואה.

$$-0.65y=-32.5$$

חלק את שני אגפי המשוואה ב- ‎-0.65, פעולה הזהה להכפלת שני האגפים בהופכי של השבר.

$$y=50$$

השתמש ב- ‎50 במקום y ב- ‎x=-0.5y+125. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.

$$x=-0.5\times 50+125$$

הכפל את ‎-0.5 ב- ‎50.

$$x=-25+125$$

הוסף את ‎125 ל- ‎-25.

$$x=100$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=100,y=50$$

שלבים הכוללים שימוש במטריצות

העבר את המשוואות לצורה סטנדרטית ולאחר מכן השתמש במטריצות כדי לפתור את מערכת המשוואות.

$$0.04x+0.02y=5,0.5\left(x-2\right)-0.4y=29$$

פשט את המשוואה השניה כדי להעביר אותה לצורה סטנדרטית.

$$0.5\left(x-2\right)-0.4y=29$$

הכפל את ‎0.5 ב- ‎x-2.

$$0.5x-1-0.4y=29$$

הוסף ‎1 לשני אגפי המשוואה.

$$0.5x-0.4y=30$$

כתוב את המשוואות בצורת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}0.04&0.02\\0.5&-0.4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\30\end{matrix}\right)$$

הכפל את המשוואה שבצד השמאלי במטריצה ההופכית של \left(\begin{matrix}0.04&0.02\\0.5&-0.4\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}0.04&0.02\\0.5&-0.4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0.04&0.02\\0.5&-0.4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}0.04&0.02\\0.5&-0.4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\30\end{matrix}\right)$$

המכפלה של מטריצה וההופכי שלה היא מטריצת הזהות.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}0.04&0.02\\0.5&-0.4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\30\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}0.04&0.02\\0.5&-0.4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\30\end{matrix}\right)$$

עבור המטריצה 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), המטריצה ההפוכה היא \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), כדי שניתן יהיה לכתוב מחדש את משוואת המטריצה כבעיית הכפלת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{0.4}{0.04\left(-0.4\right)-0.02\times 0.5}&-\frac{0.02}{0.04\left(-0.4\right)-0.02\times 0.5}\\-\frac{0.5}{0.04\left(-0.4\right)-0.02\times 0.5}&\frac{0.04}{0.04\left(-0.4\right)-0.02\times 0.5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\30\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{200}{13}&\frac{10}{13}\\\frac{250}{13}&-\frac{20}{13}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\30\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{200}{13}\times 5+\frac{10}{13}\times 30\\\frac{250}{13}\times 5-\frac{20}{13}\times 30\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}100\\50\end{matrix}\right)$$

חלץ את רכיבי המטריצה x ו- y.

$$x=100,y=50$$