פתור את {l}{-x-3y=12}{-5x-9y=18}

$$\left. \begin{array} { l } { - x - 3 y = 12 } \\ { - 5 x - 9 y = 18 } \end{array} \right.$$

פתור עבור x, y

$$x=9$$

$$y=-7$$

שלבים הכוללים שימוש בהחלפה

כדי לפתור זוג משוואות באמצעות החלפה, תחילה פתור אחת מהמשוואות עבור אחד מהמשתנים. לאחר מכן החלף את התוצאה עבור משתנה זה במשוואה השניה.

$$-x-3y=12,-5x-9y=18$$

בחר אחת מהמשוואות ופתור אותה עבור x על-ידי בידוד x בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$-x-3y=12$$

הוסף ‎3y לשני אגפי המשוואה.

$$-x=3y+12$$

חלק את שני האגפים ב- ‎-1.

$$x=-\left(3y+12\right)$$

הכפל את ‎-1 ב- ‎12+3y.

$$x=-3y-12$$

השתמש ב- ‎-3y-12 במקום ‎x במשוואה השניה, ‎-5x-9y=18.

$$-5\left(-3y-12\right)-9y=18$$

הכפל את ‎-5 ב- ‎-3y-12.

$$15y+60-9y=18$$

הוסף את ‎15y ל- ‎-9y.

$$6y+60=18$$

החסר ‎60 משני אגפי המשוואה.

$$6y=-42$$

חלק את שני האגפים ב- ‎6.

$$y=-7$$

השתמש ב- ‎-7 במקום y ב- ‎x=-3y-12. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.

$$x=-3\left(-7\right)-12$$

הכפל את ‎-3 ב- ‎-7.

$$x=21-12$$

הוסף את ‎-12 ל- ‎21.

$$x=9$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=9,y=-7$$

שלבים הכוללים שימוש במטריצות

העבר את המשוואות לצורה סטנדרטית ולאחר מכן השתמש במטריצות כדי לפתור את מערכת המשוואות.

$$-x-3y=12,-5x-9y=18$$

כתוב את המשוואות בצורת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}-1&-3\\-5&-9\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}12\\18\end{matrix}\right)$$

הכפל את המשוואה שבצד השמאלי במטריצה ההופכית של \left(\begin{matrix}-1&-3\\-5&-9\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}-1&-3\\-5&-9\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-1&-3\\-5&-9\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-1&-3\\-5&-9\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}12\\18\end{matrix}\right)$$

המכפלה של מטריצה וההופכי שלה היא מטריצת הזהות.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-1&-3\\-5&-9\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}12\\18\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-1&-3\\-5&-9\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}12\\18\end{matrix}\right)$$

עבור המטריצה 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), המטריצה ההפוכה היא \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), כדי שניתן יהיה לכתוב מחדש את משוואת המטריצה כבעיית הכפלת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{9}{-\left(-9\right)-\left(-3\left(-5\right)\right)}&-\frac{-3}{-\left(-9\right)-\left(-3\left(-5\right)\right)}\\-\frac{-5}{-\left(-9\right)-\left(-3\left(-5\right)\right)}&-\frac{1}{-\left(-9\right)-\left(-3\left(-5\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}12\\18\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{2}&-\frac{1}{2}\\-\frac{5}{6}&\frac{1}{6}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}12\\18\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{2}\times 12-\frac{1}{2}\times 18\\-\frac{5}{6}\times 12+\frac{1}{6}\times 18\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}9\\-7\end{matrix}\right)$$

חלץ את רכיבי המטריצה x ו- y.

$$x=9,y=-7$$

שלבים הכוללים שימוש באלימינציה

כדי לפתור באמצעות אלימינציה, המקדמים של אחד מהמשתנים חייבים להיות זהים בשתי המשוואות כדי שהמשתנה יתבטל בעת החסרת משוואה אחת מהשניה.

$$-x-3y=12,-5x-9y=18$$

כדי להפוך את ‎-x ו- ‎-5x לשווים, הכפל את כל האיברים בכל אגף של המשוואה הראשונה ב- ‎-5 ואת כל האיברים בכל אגף של המשוואה השניה ב- ‎-1.

$$-5\left(-1\right)x-5\left(-3\right)y=-5\times 12,-\left(-5\right)x-\left(-9y\right)=-18$$

פשט.

$$5x+15y=-60,5x+9y=-18$$

החסר את ‎5x+9y=-18 מ- ‎5x+15y=-60 על-ידי חיסור איברים דומים בכל אחד מהצדדים של סימן השוויון.

$$5x-5x+15y-9y=-60+18$$

הוסף את ‎5x ל- ‎-5x. האיברים ‎5x ו- ‎-5x מבטלים זה את זה, ונותרת משוואה שכוללת משתנה אחד בלבד ושניתן לפתור אותה.

$$15y-9y=-60+18$$

הוסף את ‎15y ל- ‎-9y.

$$6y=-60+18$$

הוסף את ‎-60 ל- ‎18.

$$6y=-42$$

חלק את שני האגפים ב- ‎6.

$$y=-7$$

השתמש ב- ‎-7 במקום y ב- ‎-5x-9y=18. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.

$$-5x-9\left(-7\right)=18$$

הכפל את ‎-9 ב- ‎-7.

$$-5x+63=18$$

החסר ‎63 משני אגפי המשוואה.

$$-5x=-45$$

חלק את שני האגפים ב- ‎-5.

$$x=9$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=9,y=-7$$