פתור את {l}{-8x+4y=12}{8x-3y=-3}

$$\left. \begin{array} { l } { - 8 x + 4 y = 12 } \\ { 8 x - 3 y = - 3 } \end{array} \right.$$

פתור עבור x, y

$$x=3$$

$$y=9$$

שלבים הכוללים שימוש בהחלפה

כדי לפתור זוג משוואות באמצעות החלפה, תחילה פתור אחת מהמשוואות עבור אחד מהמשתנים. לאחר מכן החלף את התוצאה עבור משתנה זה במשוואה השניה.

$$-8x+4y=12,8x-3y=-3$$

בחר אחת מהמשוואות ופתור אותה עבור x על-ידי בידוד x בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$-8x+4y=12$$

החסר ‎4y משני אגפי המשוואה.

$$-8x=-4y+12$$

חלק את שני האגפים ב- ‎-8.

$$x=-\frac{1}{8}\left(-4y+12\right)$$

הכפל את ‎-\frac{1}{8} ב- ‎-4y+12.

$$x=\frac{1}{2}y-\frac{3}{2}$$

השתמש ב- ‎\frac{-3+y}{2} במקום ‎x במשוואה השניה, ‎8x-3y=-3.

$$8\left(\frac{1}{2}y-\frac{3}{2}\right)-3y=-3$$

הכפל את ‎8 ב- ‎\frac{-3+y}{2}.

$$4y-12-3y=-3$$

הוסף את ‎4y ל- ‎-3y.

$$y-12=-3$$

הוסף ‎12 לשני אגפי המשוואה.

$$y=9$$

השתמש ב- ‎9 במקום y ב- ‎x=\frac{1}{2}y-\frac{3}{2}. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.

$$x=\frac{1}{2}\times 9-\frac{3}{2}$$

הכפל את ‎\frac{1}{2} ב- ‎9.

$$x=\frac{9-3}{2}$$

הוסף את ‎-\frac{3}{2} ל- ‎\frac{9}{2} על-ידי מציאת מכנה משותף וחיבור המונים. לאחר מכן צמצם את השבר לאיברים הקטנים ביותר אם הדבר אפשרי.

$$x=3$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=3,y=9$$

שלבים הכוללים שימוש במטריצות

העבר את המשוואות לצורה סטנדרטית ולאחר מכן השתמש במטריצות כדי לפתור את מערכת המשוואות.

$$-8x+4y=12,8x-3y=-3$$

כתוב את המשוואות בצורת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}-8&4\\8&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}12\\-3\end{matrix}\right)$$

הכפל את המשוואה שבצד השמאלי במטריצה ההופכית של \left(\begin{matrix}-8&4\\8&-3\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}-8&4\\8&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-8&4\\8&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-8&4\\8&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}12\\-3\end{matrix}\right)$$

המכפלה של מטריצה וההופכי שלה היא מטריצת הזהות.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-8&4\\8&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}12\\-3\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-8&4\\8&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}12\\-3\end{matrix}\right)$$

עבור המטריצה 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), המטריצה ההפוכה היא \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), כדי שניתן יהיה לכתוב מחדש את משוואת המטריצה כבעיית הכפלת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{3}{-8\left(-3\right)-4\times 8}&-\frac{4}{-8\left(-3\right)-4\times 8}\\-\frac{8}{-8\left(-3\right)-4\times 8}&-\frac{8}{-8\left(-3\right)-4\times 8}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}12\\-3\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{8}&\frac{1}{2}\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}12\\-3\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{8}\times 12+\frac{1}{2}\left(-3\right)\\12-3\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3\\9\end{matrix}\right)$$

חלץ את רכיבי המטריצה x ו- y.

$$x=3,y=9$$

שלבים הכוללים שימוש באלימינציה

כדי לפתור באמצעות אלימינציה, המקדמים של אחד מהמשתנים חייבים להיות זהים בשתי המשוואות כדי שהמשתנה יתבטל בעת החסרת משוואה אחת מהשניה.

$$-8x+4y=12,8x-3y=-3$$

כדי להפוך את ‎-8x ו- ‎8x לשווים, הכפל את כל האיברים בכל אגף של המשוואה הראשונה ב- ‎8 ואת כל האיברים בכל אגף של המשוואה השניה ב- ‎-8.

$$8\left(-8\right)x+8\times 4y=8\times 12,-8\times 8x-8\left(-3\right)y=-8\left(-3\right)$$

פשט.

$$-64x+32y=96,-64x+24y=24$$

החסר את ‎-64x+24y=24 מ- ‎-64x+32y=96 על-ידי חיסור איברים דומים בכל אחד מהצדדים של סימן השוויון.

$$-64x+64x+32y-24y=96-24$$

הוסף את ‎-64x ל- ‎64x. האיברים ‎-64x ו- ‎64x מבטלים זה את זה, ונותרת משוואה שכוללת משתנה אחד בלבד ושניתן לפתור אותה.

$$32y-24y=96-24$$

הוסף את ‎32y ל- ‎-24y.

$$8y=96-24$$

הוסף את ‎96 ל- ‎-24.

$$8y=72$$

חלק את שני האגפים ב- ‎8.

$$y=9$$

השתמש ב- ‎9 במקום y ב- ‎8x-3y=-3. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.

$$8x-3\times 9=-3$$

הכפל את ‎-3 ב- ‎9.

$$8x-27=-3$$

הוסף ‎27 לשני אגפי המשוואה.

$$8x=24$$

חלק את שני האגפים ב- ‎8.

$$x=3$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=3,y=9$$