פתור את {l}{-5x+y=-3}{3x-8y=24}

$$\left. \begin{array} { l } { - 5 x + y = - 3 } \\ { 3 x - 8 y = 24 } \end{array} \right.$$

פתור עבור x, y

$$x=0$$

$$y=-3$$

שלבים הכוללים שימוש בהחלפה

כדי לפתור זוג משוואות באמצעות החלפה, תחילה פתור אחת מהמשוואות עבור אחד מהמשתנים. לאחר מכן החלף את התוצאה עבור משתנה זה במשוואה השניה.

$$-5x+y=-3,3x-8y=24$$

בחר אחת מהמשוואות ופתור אותה עבור x על-ידי בידוד x בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$-5x+y=-3$$

החסר ‎y משני אגפי המשוואה.

$$-5x=-y-3$$

חלק את שני האגפים ב- ‎-5.

$$x=-\frac{1}{5}\left(-y-3\right)$$

הכפל את ‎-\frac{1}{5} ב- ‎-y-3.

$$x=\frac{1}{5}y+\frac{3}{5}$$

השתמש ב- ‎\frac{3+y}{5} במקום ‎x במשוואה השניה, ‎3x-8y=24.

$$3\left(\frac{1}{5}y+\frac{3}{5}\right)-8y=24$$

הכפל את ‎3 ב- ‎\frac{3+y}{5}.

$$\frac{3}{5}y+\frac{9}{5}-8y=24$$

הוסף את ‎\frac{3y}{5} ל- ‎-8y.

$$-\frac{37}{5}y+\frac{9}{5}=24$$

החסר ‎\frac{9}{5} משני אגפי המשוואה.

$$-\frac{37}{5}y=\frac{111}{5}$$

חלק את שני אגפי המשוואה ב- ‎-\frac{37}{5}, פעולה הזהה להכפלת שני האגפים בהופכי של השבר.

$$y=-3$$

השתמש ב- ‎-3 במקום y ב- ‎x=\frac{1}{5}y+\frac{3}{5}. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.

$$x=\frac{1}{5}\left(-3\right)+\frac{3}{5}$$

הכפל את ‎\frac{1}{5} ב- ‎-3.

$$x=\frac{-3+3}{5}$$

הוסף את ‎\frac{3}{5} ל- ‎-\frac{3}{5} על-ידי מציאת מכנה משותף וחיבור המונים. לאחר מכן צמצם את השבר לאיברים הקטנים ביותר אם הדבר אפשרי.

$$x=0$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=0,y=-3$$

שלבים הכוללים שימוש במטריצות

העבר את המשוואות לצורה סטנדרטית ולאחר מכן השתמש במטריצות כדי לפתור את מערכת המשוואות.

$$-5x+y=-3,3x-8y=24$$

כתוב את המשוואות בצורת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}-5&1\\3&-8\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-3\\24\end{matrix}\right)$$

הכפל את המשוואה שבצד השמאלי במטריצה ההופכית של \left(\begin{matrix}-5&1\\3&-8\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}-5&1\\3&-8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-5&1\\3&-8\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-5&1\\3&-8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-3\\24\end{matrix}\right)$$

המכפלה של מטריצה וההופכי שלה היא מטריצת הזהות.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-5&1\\3&-8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-3\\24\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-5&1\\3&-8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-3\\24\end{matrix}\right)$$

עבור המטריצה 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), המטריצה ההפוכה היא \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), כדי שניתן יהיה לכתוב מחדש את משוואת המטריצה כבעיית הכפלת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{8}{-5\left(-8\right)-3}&-\frac{1}{-5\left(-8\right)-3}\\-\frac{3}{-5\left(-8\right)-3}&-\frac{5}{-5\left(-8\right)-3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-3\\24\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{8}{37}&-\frac{1}{37}\\-\frac{3}{37}&-\frac{5}{37}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-3\\24\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{8}{37}\left(-3\right)-\frac{1}{37}\times 24\\-\frac{3}{37}\left(-3\right)-\frac{5}{37}\times 24\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}0\\-3\end{matrix}\right)$$

חלץ את רכיבי המטריצה x ו- y.

$$x=0,y=-3$$

שלבים הכוללים שימוש באלימינציה

כדי לפתור באמצעות אלימינציה, המקדמים של אחד מהמשתנים חייבים להיות זהים בשתי המשוואות כדי שהמשתנה יתבטל בעת החסרת משוואה אחת מהשניה.

$$-5x+y=-3,3x-8y=24$$

כדי להפוך את ‎-5x ו- ‎3x לשווים, הכפל את כל האיברים בכל אגף של המשוואה הראשונה ב- ‎3 ואת כל האיברים בכל אגף של המשוואה השניה ב- ‎-5.

$$3\left(-5\right)x+3y=3\left(-3\right),-5\times 3x-5\left(-8\right)y=-5\times 24$$

פשט.

$$-15x+3y=-9,-15x+40y=-120$$

החסר את ‎-15x+40y=-120 מ- ‎-15x+3y=-9 על-ידי חיסור איברים דומים בכל אחד מהצדדים של סימן השוויון.

$$-15x+15x+3y-40y=-9+120$$

הוסף את ‎-15x ל- ‎15x. האיברים ‎-15x ו- ‎15x מבטלים זה את זה, ונותרת משוואה שכוללת משתנה אחד בלבד ושניתן לפתור אותה.

$$3y-40y=-9+120$$

הוסף את ‎3y ל- ‎-40y.

$$-37y=-9+120$$

הוסף את ‎-9 ל- ‎120.

$$-37y=111$$

חלק את שני האגפים ב- ‎-37.

$$y=-3$$

השתמש ב- ‎-3 במקום y ב- ‎3x-8y=24. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.

$$3x-8\left(-3\right)=24$$

הכפל את ‎-8 ב- ‎-3.

$$3x+24=24$$

החסר ‎24 משני אגפי המשוואה.

$$3x=0$$

חלק את שני האגפים ב- ‎3.

$$x=0$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=0,y=-3$$