פתור את {l}{-5x+3y=3}{4x+3y=30}

$$\left. \begin{array} { l } { - 5 x + 3 y = 3 } \\ { 4 x + 3 y = 30 } \end{array} \right.$$

פתור עבור x, y

$$x=3$$

$$y=6$$

שלבים הכוללים שימוש בהחלפה

כדי לפתור זוג משוואות באמצעות החלפה, תחילה פתור אחת מהמשוואות עבור אחד מהמשתנים. לאחר מכן החלף את התוצאה עבור משתנה זה במשוואה השניה.

$$-5x+3y=3,4x+3y=30$$

בחר אחת מהמשוואות ופתור אותה עבור x על-ידי בידוד x בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$-5x+3y=3$$

החסר ‎3y משני אגפי המשוואה.

$$-5x=-3y+3$$

חלק את שני האגפים ב- ‎-5.

$$x=-\frac{1}{5}\left(-3y+3\right)$$

הכפל את ‎-\frac{1}{5} ב- ‎-3y+3.

$$x=\frac{3}{5}y-\frac{3}{5}$$

השתמש ב- ‎\frac{-3+3y}{5} במקום ‎x במשוואה השניה, ‎4x+3y=30.

$$4\left(\frac{3}{5}y-\frac{3}{5}\right)+3y=30$$

הכפל את ‎4 ב- ‎\frac{-3+3y}{5}.

$$\frac{12}{5}y-\frac{12}{5}+3y=30$$

הוסף את ‎\frac{12y}{5} ל- ‎3y.

$$\frac{27}{5}y-\frac{12}{5}=30$$

הוסף ‎\frac{12}{5} לשני אגפי המשוואה.

$$\frac{27}{5}y=\frac{162}{5}$$

חלק את שני אגפי המשוואה ב- ‎\frac{27}{5}, פעולה הזהה להכפלת שני האגפים בהופכי של השבר.

$$y=6$$

השתמש ב- ‎6 במקום y ב- ‎x=\frac{3}{5}y-\frac{3}{5}. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.

$$x=\frac{3}{5}\times 6-\frac{3}{5}$$

הכפל את ‎\frac{3}{5} ב- ‎6.

$$x=\frac{18-3}{5}$$

הוסף את ‎-\frac{3}{5} ל- ‎\frac{18}{5} על-ידי מציאת מכנה משותף וחיבור המונים. לאחר מכן צמצם את השבר לאיברים הקטנים ביותר אם הדבר אפשרי.

$$x=3$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=3,y=6$$

שלבים הכוללים שימוש במטריצות

העבר את המשוואות לצורה סטנדרטית ולאחר מכן השתמש במטריצות כדי לפתור את מערכת המשוואות.

$$-5x+3y=3,4x+3y=30$$

כתוב את המשוואות בצורת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}-5&3\\4&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3\\30\end{matrix}\right)$$

הכפל את המשוואה שבצד השמאלי במטריצה ההופכית של \left(\begin{matrix}-5&3\\4&3\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}-5&3\\4&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-5&3\\4&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-5&3\\4&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3\\30\end{matrix}\right)$$

המכפלה של מטריצה וההופכי שלה היא מטריצת הזהות.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-5&3\\4&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3\\30\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-5&3\\4&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3\\30\end{matrix}\right)$$

עבור המטריצה 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), המטריצה ההפוכה היא \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), כדי שניתן יהיה לכתוב מחדש את משוואת המטריצה כבעיית הכפלת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{-5\times 3-3\times 4}&-\frac{3}{-5\times 3-3\times 4}\\-\frac{4}{-5\times 3-3\times 4}&-\frac{5}{-5\times 3-3\times 4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}3\\30\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{9}&\frac{1}{9}\\\frac{4}{27}&\frac{5}{27}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}3\\30\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{9}\times 3+\frac{1}{9}\times 30\\\frac{4}{27}\times 3+\frac{5}{27}\times 30\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3\\6\end{matrix}\right)$$

חלץ את רכיבי המטריצה x ו- y.

$$x=3,y=6$$

שלבים הכוללים שימוש באלימינציה

כדי לפתור באמצעות אלימינציה, המקדמים של אחד מהמשתנים חייבים להיות זהים בשתי המשוואות כדי שהמשתנה יתבטל בעת החסרת משוואה אחת מהשניה.

$$-5x+3y=3,4x+3y=30$$

החסר את ‎4x+3y=30 מ- ‎-5x+3y=3 על-ידי חיסור איברים דומים בכל אחד מהצדדים של סימן השוויון.

$$-5x-4x+3y-3y=3-30$$

הוסף את ‎3y ל- ‎-3y. האיברים ‎3y ו- ‎-3y מבטלים זה את זה, ונותרת משוואה שכוללת משתנה אחד בלבד ושניתן לפתור אותה.

$$-5x-4x=3-30$$

הוסף את ‎-5x ל- ‎-4x.

$$-9x=3-30$$

הוסף את ‎3 ל- ‎-30.

$$-9x=-27$$

חלק את שני האגפים ב- ‎-9.

$$x=3$$

השתמש ב- ‎3 במקום x ב- ‎4x+3y=30. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את y ישירות.

$$4\times 3+3y=30$$

הכפל את ‎4 ב- ‎3.

$$12+3y=30$$

החסר ‎12 משני אגפי המשוואה.

$$3y=18$$

חלק את שני האגפים ב- ‎3.

$$y=6$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=3,y=6$$