פתור את {l}{-3y+4x=13}{-5y-6x=-67}

$$\left. \begin{array} { l } { - 3 y + 4 x = 13 } \\ { - 5 y - 6 x = - 67 } \end{array} \right.$$

פתור עבור y, x

$$x=7$$

$$y=5$$

שלבים הכוללים שימוש בהחלפה

כדי לפתור זוג משוואות באמצעות החלפה, תחילה פתור אחת מהמשוואות עבור אחד מהמשתנים. לאחר מכן החלף את התוצאה עבור משתנה זה במשוואה השניה.

$$-3y+4x=13,-5y-6x=-67$$

בחר אחת מהמשוואות ופתור אותה עבור y על-ידי בידוד y בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$-3y+4x=13$$

החסר ‎4x משני אגפי המשוואה.

$$-3y=-4x+13$$

חלק את שני האגפים ב- ‎-3.

$$y=-\frac{1}{3}\left(-4x+13\right)$$

הכפל את ‎-\frac{1}{3} ב- ‎-4x+13.

$$y=\frac{4}{3}x-\frac{13}{3}$$

השתמש ב- ‎\frac{4x-13}{3} במקום ‎y במשוואה השניה, ‎-5y-6x=-67.

$$-5\left(\frac{4}{3}x-\frac{13}{3}\right)-6x=-67$$

הכפל את ‎-5 ב- ‎\frac{4x-13}{3}.

$$-\frac{20}{3}x+\frac{65}{3}-6x=-67$$

הוסף את ‎-\frac{20x}{3} ל- ‎-6x.

$$-\frac{38}{3}x+\frac{65}{3}=-67$$

החסר ‎\frac{65}{3} משני אגפי המשוואה.

$$-\frac{38}{3}x=-\frac{266}{3}$$

חלק את שני אגפי המשוואה ב- ‎-\frac{38}{3}, פעולה הזהה להכפלת שני האגפים בהופכי של השבר.

$$x=7$$

השתמש ב- ‎7 במקום x ב- ‎y=\frac{4}{3}x-\frac{13}{3}. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את y ישירות.

$$y=\frac{4}{3}\times 7-\frac{13}{3}$$

הכפל את ‎\frac{4}{3} ב- ‎7.

$$y=\frac{28-13}{3}$$

הוסף את ‎-\frac{13}{3} ל- ‎\frac{28}{3} על-ידי מציאת מכנה משותף וחיבור המונים. לאחר מכן צמצם את השבר לאיברים הקטנים ביותר אם הדבר אפשרי.

$$y=5$$

המערכת נפתרה כעת.

$$y=5,x=7$$

שלבים הכוללים שימוש במטריצות

העבר את המשוואות לצורה סטנדרטית ולאחר מכן השתמש במטריצות כדי לפתור את מערכת המשוואות.

$$-3y+4x=13,-5y-6x=-67$$

כתוב את המשוואות בצורת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}-3&4\\-5&-6\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}13\\-67\end{matrix}\right)$$

הכפל את המשוואה שבצד השמאלי במטריצה ההופכית של \left(\begin{matrix}-3&4\\-5&-6\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}-3&4\\-5&-6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-3&4\\-5&-6\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-3&4\\-5&-6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}13\\-67\end{matrix}\right)$$

המכפלה של מטריצה וההופכי שלה היא מטריצת הזהות.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-3&4\\-5&-6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}13\\-67\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-3&4\\-5&-6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}13\\-67\end{matrix}\right)$$

עבור המטריצה 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), המטריצה ההפוכה היא \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), כדי שניתן יהיה לכתוב מחדש את משוואת המטריצה כבעיית הכפלת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{6}{-3\left(-6\right)-4\left(-5\right)}&-\frac{4}{-3\left(-6\right)-4\left(-5\right)}\\-\frac{-5}{-3\left(-6\right)-4\left(-5\right)}&-\frac{3}{-3\left(-6\right)-4\left(-5\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}13\\-67\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{3}{19}&-\frac{2}{19}\\\frac{5}{38}&-\frac{3}{38}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}13\\-67\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{3}{19}\times 13-\frac{2}{19}\left(-67\right)\\\frac{5}{38}\times 13-\frac{3}{38}\left(-67\right)\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\7\end{matrix}\right)$$

חלץ את רכיבי המטריצה y ו- x.

$$y=5,x=7$$

שלבים הכוללים שימוש באלימינציה

כדי לפתור באמצעות אלימינציה, המקדמים של אחד מהמשתנים חייבים להיות זהים בשתי המשוואות כדי שהמשתנה יתבטל בעת החסרת משוואה אחת מהשניה.

$$-3y+4x=13,-5y-6x=-67$$

כדי להפוך את ‎-3y ו- ‎-5y לשווים, הכפל את כל האיברים בכל אגף של המשוואה הראשונה ב- ‎-5 ואת כל האיברים בכל אגף של המשוואה השניה ב- ‎-3.

$$-5\left(-3\right)y-5\times 4x=-5\times 13,-3\left(-5\right)y-3\left(-6\right)x=-3\left(-67\right)$$

פשט.

$$15y-20x=-65,15y+18x=201$$

החסר את ‎15y+18x=201 מ- ‎15y-20x=-65 על-ידי חיסור איברים דומים בכל אחד מהצדדים של סימן השוויון.

$$15y-15y-20x-18x=-65-201$$

הוסף את ‎15y ל- ‎-15y. האיברים ‎15y ו- ‎-15y מבטלים זה את זה, ונותרת משוואה שכוללת משתנה אחד בלבד ושניתן לפתור אותה.

$$-20x-18x=-65-201$$

הוסף את ‎-20x ל- ‎-18x.

$$-38x=-65-201$$

הוסף את ‎-65 ל- ‎-201.

$$-38x=-266$$

חלק את שני האגפים ב- ‎-38.

$$x=7$$

השתמש ב- ‎7 במקום x ב- ‎-5y-6x=-67. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את y ישירות.

$$-5y-6\times 7=-67$$

הכפל את ‎-6 ב- ‎7.

$$-5y-42=-67$$

הוסף ‎42 לשני אגפי המשוואה.

$$-5y=-25$$

חלק את שני האגפים ב- ‎-5.

$$y=5$$

המערכת נפתרה כעת.

$$y=5,x=7$$