פתור את {l}{-2x+3y=-10}{-3x+3y=-3}hline

$$\left. \begin{array} { l } { - 2 x + 3 y = - 10 } \\ { - 3 x + 3 y = - 3 } \\ \hline \end{array} \right.$$

פתור עבור x, y

$$x=-7$$

$$y=-8$$

שלבים הכוללים שימוש בהחלפה

כדי לפתור זוג משוואות באמצעות החלפה, תחילה פתור אחת מהמשוואות עבור אחד מהמשתנים. לאחר מכן החלף את התוצאה עבור משתנה זה במשוואה השניה.

$$-2x+3y=-10,-3x+3y=-3$$

בחר אחת מהמשוואות ופתור אותה עבור x על-ידי בידוד x בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$-2x+3y=-10$$

החסר ‎3y משני אגפי המשוואה.

$$-2x=-3y-10$$

חלק את שני האגפים ב- ‎-2.

$$x=-\frac{1}{2}\left(-3y-10\right)$$

הכפל את ‎-\frac{1}{2} ב- ‎-3y-10.

$$x=\frac{3}{2}y+5$$

השתמש ב- ‎\frac{3y}{2}+5 במקום ‎x במשוואה השניה, ‎-3x+3y=-3.

$$-3\left(\frac{3}{2}y+5\right)+3y=-3$$

הכפל את ‎-3 ב- ‎\frac{3y}{2}+5.

$$-\frac{9}{2}y-15+3y=-3$$

הוסף את ‎-\frac{9y}{2} ל- ‎3y.

$$-\frac{3}{2}y-15=-3$$

הוסף ‎15 לשני אגפי המשוואה.

$$-\frac{3}{2}y=12$$

חלק את שני אגפי המשוואה ב- ‎-\frac{3}{2}, פעולה הזהה להכפלת שני האגפים בהופכי של השבר.

$$y=-8$$

השתמש ב- ‎-8 במקום y ב- ‎x=\frac{3}{2}y+5. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.

$$x=\frac{3}{2}\left(-8\right)+5$$

הכפל את ‎\frac{3}{2} ב- ‎-8.

$$x=-12+5$$

הוסף את ‎5 ל- ‎-12.

$$x=-7$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=-7,y=-8$$

שלבים הכוללים שימוש במטריצות

העבר את המשוואות לצורה סטנדרטית ולאחר מכן השתמש במטריצות כדי לפתור את מערכת המשוואות.

$$-2x+3y=-10,-3x+3y=-3$$

כתוב את המשוואות בצורת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}-2&3\\-3&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-10\\-3\end{matrix}\right)$$

הכפל את המשוואה שבצד השמאלי במטריצה ההופכית של \left(\begin{matrix}-2&3\\-3&3\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}-2&3\\-3&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-2&3\\-3&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-2&3\\-3&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-10\\-3\end{matrix}\right)$$

המכפלה של מטריצה וההופכי שלה היא מטריצת הזהות.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-2&3\\-3&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-10\\-3\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-2&3\\-3&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-10\\-3\end{matrix}\right)$$

עבור המטריצה 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), המטריצה ההפוכה היא \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), כדי שניתן יהיה לכתוב מחדש את משוואת המטריצה כבעיית הכפלת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{-2\times 3-3\left(-3\right)}&-\frac{3}{-2\times 3-3\left(-3\right)}\\-\frac{-3}{-2\times 3-3\left(-3\right)}&-\frac{2}{-2\times 3-3\left(-3\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-10\\-3\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1&-1\\1&-\frac{2}{3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-10\\-3\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-10-\left(-3\right)\\-10-\frac{2}{3}\left(-3\right)\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-7\\-8\end{matrix}\right)$$

חלץ את רכיבי המטריצה x ו- y.

$$x=-7,y=-8$$

שלבים הכוללים שימוש באלימינציה

כדי לפתור באמצעות אלימינציה, המקדמים של אחד מהמשתנים חייבים להיות זהים בשתי המשוואות כדי שהמשתנה יתבטל בעת החסרת משוואה אחת מהשניה.

$$-2x+3y=-10,-3x+3y=-3$$

החסר את ‎-3x+3y=-3 מ- ‎-2x+3y=-10 על-ידי חיסור איברים דומים בכל אחד מהצדדים של סימן השוויון.

$$-2x+3x+3y-3y=-10+3$$

הוסף את ‎3y ל- ‎-3y. האיברים ‎3y ו- ‎-3y מבטלים זה את זה, ונותרת משוואה שכוללת משתנה אחד בלבד ושניתן לפתור אותה.

$$-2x+3x=-10+3$$

הוסף את ‎-2x ל- ‎3x.

$$x=-10+3$$

הוסף את ‎-10 ל- ‎3.

$$x=-7$$

השתמש ב- ‎-7 במקום x ב- ‎-3x+3y=-3. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את y ישירות.

$$-3\left(-7\right)+3y=-3$$

הכפל את ‎-3 ב- ‎-7.

$$21+3y=-3$$

החסר ‎21 משני אגפי המשוואה.

$$3y=-24$$

חלק את שני האגפים ב- ‎3.

$$y=-8$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=-7,y=-8$$