פתור את {l}{(x-2)(y+5)=(x-1)(y+2)}{(y-3)(x+4)=(x+7)(y-4)}

$$\left. \begin{array} { l } { ( x - 2 ) ( y + 5 ) = ( x - 1 ) ( y + 2 ) } \\ { ( y - 3 ) ( x + 4 ) = ( x + 7 ) ( y - 4 ) } \end{array} \right.$$

פתור עבור x, y

$$x=5$$

$$y=7$$

שלבים הכוללים שימוש בהחלפה

שקול את המשוואה הראשונה. השתמש בחוק הפילוג כדי להכפיל את x-2 ב- y+5.

$$xy+5x-2y-10=\left(x-1\right)\left(y+2\right)$$

השתמש בחוק הפילוג כדי להכפיל את x-1 ב- y+2.

$$xy+5x-2y-10=xy+2x-y-2$$

החסר ‎xy משני האגפים.

$$xy+5x-2y-10-xy=2x-y-2$$

כנס את ‎xy ו- ‎-xy כדי לקבל ‎0.

$$5x-2y-10=2x-y-2$$

החסר ‎2x משני האגפים.

$$5x-2y-10-2x=-y-2$$

כנס את ‎5x ו- ‎-2x כדי לקבל ‎3x.

$$3x-2y-10=-y-2$$

הוסף ‎y משני הצדדים.

$$3x-2y-10+y=-2$$

כנס את ‎-2y ו- ‎y כדי לקבל ‎-y.

$$3x-y-10=-2$$

הוסף ‎10 משני הצדדים.

$$3x-y=-2+10$$

חבר את ‎-2 ו- ‎10 כדי לקבל ‎8.

$$3x-y=8$$

שקול את המשוואה השניה. השתמש בחוק הפילוג כדי להכפיל את y-3 ב- x+4.

$$yx+4y-3x-12=\left(x+7\right)\left(y-4\right)$$

השתמש בחוק הפילוג כדי להכפיל את x+7 ב- y-4.

$$yx+4y-3x-12=xy-4x+7y-28$$

החסר ‎xy משני האגפים.

$$yx+4y-3x-12-xy=-4x+7y-28$$

כנס את ‎yx ו- ‎-xy כדי לקבל ‎0.

$$4y-3x-12=-4x+7y-28$$

הוסף ‎4x משני הצדדים.

$$4y-3x-12+4x=7y-28$$

כנס את ‎-3x ו- ‎4x כדי לקבל ‎x.

$$4y+x-12=7y-28$$

החסר ‎7y משני האגפים.

$$4y+x-12-7y=-28$$

כנס את ‎4y ו- ‎-7y כדי לקבל ‎-3y.

$$-3y+x-12=-28$$

הוסף ‎12 משני הצדדים.

$$-3y+x=-28+12$$

חבר את ‎-28 ו- ‎12 כדי לקבל ‎-16.

$$-3y+x=-16$$

כדי לפתור זוג משוואות באמצעות החלפה, תחילה פתור אחת מהמשוואות עבור אחד מהמשתנים. לאחר מכן החלף את התוצאה עבור משתנה זה במשוואה השניה.

$$3x-y=8,x-3y=-16$$

בחר אחת מהמשוואות ופתור אותה עבור x על-ידי בידוד x בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$3x-y=8$$

הוסף ‎y לשני אגפי המשוואה.

$$3x=y+8$$

חלק את שני האגפים ב- ‎3.

$$x=\frac{1}{3}\left(y+8\right)$$

הכפל את ‎\frac{1}{3} ב- ‎y+8.

$$x=\frac{1}{3}y+\frac{8}{3}$$

השתמש ב- ‎\frac{8+y}{3} במקום ‎x במשוואה השניה, ‎x-3y=-16.

$$\frac{1}{3}y+\frac{8}{3}-3y=-16$$

הוסף את ‎\frac{y}{3} ל- ‎-3y.

$$-\frac{8}{3}y+\frac{8}{3}=-16$$

החסר ‎\frac{8}{3} משני אגפי המשוואה.

$$-\frac{8}{3}y=-\frac{56}{3}$$

חלק את שני אגפי המשוואה ב- ‎-\frac{8}{3}, פעולה הזהה להכפלת שני האגפים בהופכי של השבר.

$$y=7$$

השתמש ב- ‎7 במקום y ב- ‎x=\frac{1}{3}y+\frac{8}{3}. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.

$$x=\frac{1}{3}\times 7+\frac{8}{3}$$

הכפל את ‎\frac{1}{3} ב- ‎7.

$$x=\frac{7+8}{3}$$

הוסף את ‎\frac{8}{3} ל- ‎\frac{7}{3} על-ידי מציאת מכנה משותף וחיבור המונים. לאחר מכן צמצם את השבר לאיברים הקטנים ביותר אם הדבר אפשרי.

$$x=5$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=5,y=7$$

שלבים הכוללים שימוש במטריצות

שקול את המשוואה הראשונה. השתמש בחוק הפילוג כדי להכפיל את x-2 ב- y+5.

$$xy+5x-2y-10=\left(x-1\right)\left(y+2\right)$$

השתמש בחוק הפילוג כדי להכפיל את x-1 ב- y+2.

$$xy+5x-2y-10=xy+2x-y-2$$

החסר ‎xy משני האגפים.

$$xy+5x-2y-10-xy=2x-y-2$$

כנס את ‎xy ו- ‎-xy כדי לקבל ‎0.

$$5x-2y-10=2x-y-2$$

החסר ‎2x משני האגפים.

$$5x-2y-10-2x=-y-2$$

כנס את ‎5x ו- ‎-2x כדי לקבל ‎3x.

$$3x-2y-10=-y-2$$

הוסף ‎y משני הצדדים.

$$3x-2y-10+y=-2$$

כנס את ‎-2y ו- ‎y כדי לקבל ‎-y.

$$3x-y-10=-2$$

הוסף ‎10 משני הצדדים.

$$3x-y=-2+10$$

חבר את ‎-2 ו- ‎10 כדי לקבל ‎8.

$$3x-y=8$$

שקול את המשוואה השניה. השתמש בחוק הפילוג כדי להכפיל את y-3 ב- x+4.

$$yx+4y-3x-12=\left(x+7\right)\left(y-4\right)$$

השתמש בחוק הפילוג כדי להכפיל את x+7 ב- y-4.

$$yx+4y-3x-12=xy-4x+7y-28$$

החסר ‎xy משני האגפים.

$$yx+4y-3x-12-xy=-4x+7y-28$$

כנס את ‎yx ו- ‎-xy כדי לקבל ‎0.

$$4y-3x-12=-4x+7y-28$$

הוסף ‎4x משני הצדדים.

$$4y-3x-12+4x=7y-28$$

כנס את ‎-3x ו- ‎4x כדי לקבל ‎x.

$$4y+x-12=7y-28$$

החסר ‎7y משני האגפים.

$$4y+x-12-7y=-28$$

כנס את ‎4y ו- ‎-7y כדי לקבל ‎-3y.

$$-3y+x-12=-28$$

הוסף ‎12 משני הצדדים.

$$-3y+x=-28+12$$

חבר את ‎-28 ו- ‎12 כדי לקבל ‎-16.

$$-3y+x=-16$$

העבר את המשוואות לצורה סטנדרטית ולאחר מכן השתמש במטריצות כדי לפתור את מערכת המשוואות.

$$3x-y=8,x-3y=-16$$

כתוב את המשוואות בצורת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}3&-1\\1&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}8\\-16\end{matrix}\right)$$

הכפל את המשוואה שבצד השמאלי במטריצה ההופכית של \left(\begin{matrix}3&-1\\1&-3\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&-1\\1&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&-1\\1&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-1\\1&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\-16\end{matrix}\right)$$

המכפלה של מטריצה וההופכי שלה היא מטריצת הזהות.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-1\\1&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\-16\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-1\\1&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\-16\end{matrix}\right)$$

עבור המטריצה 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), המטריצה ההפוכה היא \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), כדי שניתן יהיה לכתוב מחדש את משוואת המטריצה כבעיית הכפלת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{3}{3\left(-3\right)-\left(-1\right)}&-\frac{-1}{3\left(-3\right)-\left(-1\right)}\\-\frac{1}{3\left(-3\right)-\left(-1\right)}&\frac{3}{3\left(-3\right)-\left(-1\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}8\\-16\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{8}&-\frac{1}{8}\\\frac{1}{8}&-\frac{3}{8}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}8\\-16\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{8}\times 8-\frac{1}{8}\left(-16\right)\\\frac{1}{8}\times 8-\frac{3}{8}\left(-16\right)\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\7\end{matrix}\right)$$

חלץ את רכיבי המטריצה x ו- y.

$$x=5,y=7$$

שלבים הכוללים שימוש באלימינציה

שקול את המשוואה הראשונה. השתמש בחוק הפילוג כדי להכפיל את x-2 ב- y+5.

$$xy+5x-2y-10=\left(x-1\right)\left(y+2\right)$$

השתמש בחוק הפילוג כדי להכפיל את x-1 ב- y+2.

$$xy+5x-2y-10=xy+2x-y-2$$

החסר ‎xy משני האגפים.

$$xy+5x-2y-10-xy=2x-y-2$$

כנס את ‎xy ו- ‎-xy כדי לקבל ‎0.

$$5x-2y-10=2x-y-2$$

החסר ‎2x משני האגפים.

$$5x-2y-10-2x=-y-2$$

כנס את ‎5x ו- ‎-2x כדי לקבל ‎3x.

$$3x-2y-10=-y-2$$

הוסף ‎y משני הצדדים.

$$3x-2y-10+y=-2$$

כנס את ‎-2y ו- ‎y כדי לקבל ‎-y.

$$3x-y-10=-2$$

הוסף ‎10 משני הצדדים.

$$3x-y=-2+10$$

חבר את ‎-2 ו- ‎10 כדי לקבל ‎8.

$$3x-y=8$$

שקול את המשוואה השניה. השתמש בחוק הפילוג כדי להכפיל את y-3 ב- x+4.

$$yx+4y-3x-12=\left(x+7\right)\left(y-4\right)$$

השתמש בחוק הפילוג כדי להכפיל את x+7 ב- y-4.

$$yx+4y-3x-12=xy-4x+7y-28$$

החסר ‎xy משני האגפים.

$$yx+4y-3x-12-xy=-4x+7y-28$$

כנס את ‎yx ו- ‎-xy כדי לקבל ‎0.

$$4y-3x-12=-4x+7y-28$$

הוסף ‎4x משני הצדדים.

$$4y-3x-12+4x=7y-28$$

כנס את ‎-3x ו- ‎4x כדי לקבל ‎x.

$$4y+x-12=7y-28$$

החסר ‎7y משני האגפים.

$$4y+x-12-7y=-28$$

כנס את ‎4y ו- ‎-7y כדי לקבל ‎-3y.

$$-3y+x-12=-28$$

הוסף ‎12 משני הצדדים.

$$-3y+x=-28+12$$

חבר את ‎-28 ו- ‎12 כדי לקבל ‎-16.

$$-3y+x=-16$$

כדי לפתור באמצעות אלימינציה, המקדמים של אחד מהמשתנים חייבים להיות זהים בשתי המשוואות כדי שהמשתנה יתבטל בעת החסרת משוואה אחת מהשניה.

$$3x-y=8,x-3y=-16$$

כדי להפוך את ‎3x ו- ‎x לשווים, הכפל את כל האיברים בכל אגף של המשוואה הראשונה ב- ‎1 ואת כל האיברים בכל אגף של המשוואה השניה ב- ‎3.

$$3x-y=8,3x+3\left(-3\right)y=3\left(-16\right)$$

פשט.

$$3x-y=8,3x-9y=-48$$

החסר את ‎3x-9y=-48 מ- ‎3x-y=8 על-ידי חיסור איברים דומים בכל אחד מהצדדים של סימן השוויון.

$$3x-3x-y+9y=8+48$$

הוסף את ‎3x ל- ‎-3x. האיברים ‎3x ו- ‎-3x מבטלים זה את זה, ונותרת משוואה שכוללת משתנה אחד בלבד ושניתן לפתור אותה.

$$-y+9y=8+48$$

הוסף את ‎-y ל- ‎9y.

$$8y=8+48$$

הוסף את ‎8 ל- ‎48.

$$8y=56$$

חלק את שני האגפים ב- ‎8.

$$y=7$$

השתמש ב- ‎7 במקום y ב- ‎x-3y=-16. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.

$$x-3\times 7=-16$$

הכפל את ‎-3 ב- ‎7.

$$x-21=-16$$

הוסף ‎21 לשני אגפי המשוואה.

$$x=5$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=5,y=7$$